LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 6

Udowodnić, że liczba naturalna, która ma nieparzystą liczbę dzielników jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Ponumerujmy dzielniki pewnej liczby y od najmniejszego do największego:

d1, d2, ....dn-1, dn,

a potem wypiszmy je w dwóch liniach: w tej samej i w odwrotnej kolejności:

d1 d2 d3 ......... dn-2 dn-1 dn
dn dn-1 dn-2 ......... d3 d2 d1

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie y

d1 × dn = y
d2 × dn-1 = y
d3 × dn-2 = y
.............
ds × dn-s = y
.............
dn-2 × d3 = y
dn-2 × d3 = y
dn × d1 = y

Jeśli liczba y ma nieparzystą liczbę dzielników to liczbę, która jest po środku przemnożyć trzeba przez nią samą co jest dowodem, że liczba y jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

ds × dn-s = y
ds = dn-s    
ds × ds = y

y = (ds)2

Teraz przykłady:

Przykład 1

Liczba y = 16 ma dzielniki: d1 = 1, d2 = 2, d3 = 4, d4 = 8, d5 = 16

1 2 4 8 16
16 8 4 2 1

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie 16

1 × 16 = 16
2 × 8 = 16
4 × 4 = 16
8 × 2 = 16
16 × 1 = 16

Przykład 2

Liczba y = 64 ma dzielniki: d1 = 1, d2 = 2, d3 = 4, d4 = 8, d5 = 16, d6 = 32, d7 = 64

1 2 4 8 16 32 64
64 32 16 8 4 2 1

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie 16

1 × 64 = 64
2 × 32 = 64
4 × 16 = 64
8 × 8 = 64
16 × 4 = 64
32 × 2 = 64
64 × 1 = 64

Widzimy, że 8 trzeba przemnożyć przez nią samą.

Paweł Bredy