Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 6

Udowodnić, że liczba naturalna, która ma nieparzystą liczbę dzielników jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Ponumerujmy dzielniki pewnej liczby y od najmniejszego do największego:

d₁, d₂, ....d_n-1, d_n,

a potem wypiszmy je w dwóch liniach: w tej samej i w odwrotnej kolejności:

d₁	d₂	d₃	.........	d_n-2	d_n-1	d_n
d_n	d_n-1	d_n-2	.........	d₃	d₂	d₁

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie y

d₁	×	d_n	=	y
d₂	×	d_n-1	=	y
d₃	×	d_n-2	=	y
.............
d_s	×	d_n-s	=	y
.............
d_n-2	×	d₃	=	y
d_n-2	×	d₃	=	y
d_n	×	d₁	=	y

Jeśli liczba y ma nieparzystą liczbę dzielników to liczbę, która jest po środku przemnożyć trzeba przez nią samą co jest dowodem, że liczba y jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

d_s	×	d_n-s	=	y
d_s	=	d_n-s
d_s	×	d_s	=	y

y = (d_s)²

Teraz przykłady:

Przykład 1

Liczba y = 16 ma dzielniki: d₁ = 1, d₂ = 2, d₃ = 4, d₄ = 8, d₅ = 16

1	2	4	8	16
16	8	4	2	1

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie 16

1	×	16	=	16
2	×	8	=	16
4	×	4	=	16
8	×	2	=	16
16	×	1	=	16

Przykład 2

Liczba y = 64 ma dzielniki: d₁ = 1, d₂ = 2, d₃ = 4, d₄ = 8, d₅ = 16, d₆ = 32, d₇ = 64

1	2	4	8	16	32	64
64	32	16	8	4	2	1

Jeśli przemnożymy liczby, które są pod sobą zawsze wyjdzie 16

1	×	64	=	64
2	×	32	=	64
4	×	16	=	64
8	×	8	=	64
16	×	4	=	64
32	×	2	=	64
64	×	1	=	64

Widzimy, że 8 trzeba przemnożyć przez nią samą.

Paweł Bredy