Liga UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 13


Rozwiązać równanie 6xy - 4x + 9y - 366 = 0 w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie:


6xy - 4x + 9y - 366 = 0
6xy - 4x + 9y = 366
6xy - 4x + 9y - 6 = 360
2x(3y - 2) + 3(3y - 2) = 360
(3y - 2)(2x + 3) = 360

Musimy teraz wypisać WSZYSTKIE iloczyny liczby 360 i znaleźć takie liczby, które będą spełniały warunki zadania



2x + 3 3y - 2
360 1
180 2
120 3
90 4
72 5
60 6
45 8
40 9
36 10
30 12
24 15
20 18
18 20
15 24
12 30
10 36
8 45
9 40
6 60
5 72
4 90
3 120
2 280
1 360

Ponieważ 2x jest liczbą parzystą więc (w kolumnie) 2x + 3 musi być liczba nieparzysta. To zawęża możliwości:

2x + 3 3y - 2
45 8
15 24
9 40
5 72
3 120
1 360

Liczba 3y dzieli się przez 3, więc liczba (w kolumnnie) 3y-2 powiększona o 2 musi dzielic się przez 3. To zmniejsza liczbę możlości do jednego przypadku:

2x + 3 3y - 2
9 40

Dobre są liczby 2x + 3 = 9 i 3y - 2 = 40.

Obliczymy teraz x i y:

1) 2x + 3 = 9
2x = 6
x = 3
2) 3y - 2 = 40
3y = 42
y = 14

Sprawdzenie:

6 × 3 × 14 - 4 × 3 + 9 × 14 - 360 = 0
252 - 12 + 126 - 366 = 0
240 + 126 - 360 = 0
360 - 360 = 0
0 = 0

Odpowiedź:

x = 3
y = 14

Dominika Jackowska
kl. II a G ;)