LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 11

Znajdź liczby pierwsze p , q , r takie, że p + q + r = pq + 1 .

Rozwiązanie:

p + q + r = pq + 1
Gdyby p ą 2 i q ą 2 i r ą 2, to p, q, r byłyby liczbami nieparzystymi. W związku z tym, suma p + q + r byłaby również nieparzysta, ale suma pq + 1 byłaby parzysta, bo pq byłaby liczba nieparzystą. Krócej:
p + q +r (nieparzyste) = pq +1 (parzyste)
Jak widać jest to niemożliwe.
Zatem któryś ze składników (p, q) musi być równy 2.
Jeżeli p = 2, wówczas:
2 + q + r = 2q + 1
Zatem q = 2 lub r = 2
W przyadku, gdzie q = 2:
p + 2 + r = 2p + 1
Zatem r = 2:
p + q + 2 = pq + 1
pq - p - q = 1
p (q - 1) - q = 1 /+1
p (q - 1) - q + 1 = 2
p (q - 1) - (q - 1) = 2
(q - 1)(p - 1) = 2
Czyli:
q - 1 = 2, p - 1 = 1, q = 3, p = 2 lub q - 1 = 1, p - 1 =2, q = 2, p = 3

KONIEC

Małgorzata Hapyn :)