LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie7

Wyznaczyć liczby naturalne a takie, że liczby a + 100 i a + 164 są kwadratami liczb naturalnych.

Rozwiązanie:

a + 100 = x2
a + 164 = y2

Z tych dwóch równań wynika że:
a + 164 - (a + 100) = y2-x2
a + 164 - a - 100 = y2 -x2
164 = y2 - x2

Ale wiadomo, ze:
x2 - y2 = (x + y)(x - y)

Więc:
64 = (y - x)(y + x)

Teraz patrze jakie dzielniki ma liczba 64...
D64={1,2,4,8,16,32,64}, ponieważ:
64=1×64
64=2×32
64=4×16
64=8×8

W takim razie:

1)

y-x=1
i
y+x=64
Rozwiązuję:
2y=65
y=32,5


2)

y-x=2
i
y+x=32
Rozwiązuję:
2y=34
y=17 więc x=15


3)

y-x=4
i
y+x=16
Rozwiązuję:
2y=20
y=10 więc x=6


4)

y-x=8
i
y+x=8
Rozwiązuję:
2y=16
y=8 więc x=0

Rozwiazanie 1 jest wykluczone bo 32,5 nie jest liczbą całkowitą, a co za tym idzie nie może być kwadratem liczby naturalnej. Pozostałe punkty natomiast są poprawne.
Wracam więc do początku i rozwiązuję równania:
a+100=x2
a+100=152
a+100=225
a=225-100
a=125
oraz
a+164=y2
a+164=172
a+164=289
a=289-164
a=125

Teraz spradzam 3 punkt:
a+100=x2
a+100=62
a+100=36
a=36-100
a=-36
oraz
a+164=y2
a+164=102
a+164=100
a=100-164
a=-64

Teraz spradzam 4 punkt:
a+100=x2
a+100=02
a+100=0
a=0-100
a=-100
oraz
a+164=y2
a+164=82
a+164=64
a=64-164
a=-100
Teraz ostateczni widać że pasuje tylko punkt 2, gdyż w innych wychodza liczby ujemne.

Odpowiedź:

 Te liczby to: y = 17 i x = 15

Monika CHWIAŁKOWSKA