Wyznaczyć liczby naturalne a takie, że liczby a + 100 i a + 164 są kwadratami liczb naturalnych.
Rozwiązanie:
a + 100 = x2
a + 164 = y2
Z tych dwóch równań wynika że:
a + 164 - (a + 100) = y2-x2
a + 164 - a - 100 = y2 -x2
164 = y2 - x2
Ale wiadomo, ze:
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
Więc:
64 = (y - x)(y + x)
Teraz patrze jakie dzielniki ma liczba 64...
D64={1,2,4,8,16,32,64}, ponieważ:
64="1×64
64="2×32
64="4×16
64="8×8
W takim razie:
1)y-x="1
iy+x="64
Rozwiązuję:
2y="65
y="32,5
2)
y-x="2
iy+x="32
Rozwiązuję:
2y="34
y="17" więc x="15
3)
y-x="4
iy+x="16
Rozwiązuję:
2y="20
y="10" więc x="6
4)
y-x="8
iy+x="8
Rozwiązuję:
2y="16
y="8" więc x="0
Rozwiazanie 1 jest wykluczone bo 32,5 nie jest liczbą całkowitą, a co za tym idzie nie może być kwadratem liczby naturalnej. Pozostałe punkty natomiast są poprawne.
Wracam więc do początku i rozwiązuję równania:
a+100="x2
a+100="152
a+100="225
a="225-100
a="125
oraz
a+164="y2
a+164="172
a+164="289
a="289-164
a="125
Teraz spradzam 3 punkt:
a+100="x2
a+100="62
a+100="36
a="36-100
a="-36
oraz
a+164="y2
a+164="102
a+164="100
a="100-164
a="-64
Teraz spradzam 4 punkt:
a+100="x2
a+100="02
a+100="0
a="0-100
a="-100
oraz
a+164="y2
a+164="82
a+164="64
a="64-164
a="-100
Teraz ostateczni widać że pasuje tylko punkt 2, gdyż w innych wychodza liczby ujemne.
Odpowiedź:
Te liczby to: y = 17 i x = 15
Monika CHWIAŁKOWSKA