LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 3

Rostrzygnij, czy liczba 210 + 20058 jest pierwsza.



Rozwi±zanie:

Dla ułatwienia możemy wprowadzić oznaczenie:

x = 210 + 20058 = (25)2 + (20054)2 = a2 + b2

Można zauważyć, że:

a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab - 2ab

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

  x = (a + b)2 - 2ab,     gdzie: a = 25, b = 20054

x = (25 + 20054)2 - 2×25×20054

x = (25 + 20054)2 - (23×20052)2

x = (25 + 20054 + 23×20052)× (25 + 20054 - 23×20052)

210 + 20058 = (25 + 20054 + 23×20052) × (25 + 20054 - 23×20052)

Przedstawiłam liczbę 210 + 20058 w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza jest na pewno większa od 1, a druga także, gdyż:

25 + 20054 - 23×20052 = 25 + 20052 ×(20052 - 23) >  25 > 1

Wynika st±d, że liczba 210 + 20058 jest złożona.

Anna Bernat kl.IIa