LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 5

1. Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą niż 10.

2. Wyznacz najmiejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.

Rozwiązanie:

1. Liczba naturalna o 2 mniejsza od szukanej jest wielokrotnością liczb 3, 4, 5, 6, 7.

   NWW(3, 4, 5, 6, 7) = NWW(4, 5, 6, 7) = NWW(42, 20) = 420

   Zatem ogólna postać liczby, która z dzielenia przez 3, 4, 5, 6, 7 daje resztę 2 jest:

   420x + 2

   gdzie x jest pewna liczbą naturalną.

   Jeśli x = 0 to 420x + 2 = 420×0 + 2 = 2 < 10

   Jeśli x = 1 to 420x + 2 = 420×1 + 2 = 422 > 10

   Odp.: Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania 5a liczba 422.

2. Szukana liczba musi byc postaci tej co w punkcie a i dodatkowo ma dzielić sie przez 11.
   Musi więc być spełniony warunek:

   11 | 420x + 2,

   gdzie x należy do zbioru liczb naturalnych.

   Zauważmy jednak, że

   420x + 2 = 418x + 2x + 2 = 11×38x + 2x + 2

   To znaczy, że wystarczy aby liczba postaci 2x + 2 dzieliła się przez 11. Szukamy więc liczby naturalnej x takiej by

   11 | 2x + 2

   Lczba x daje jakąś resztę r z dzielenia przez 11, więc można ją zapisać w postaci:

   x = 11y + r,

   gdzie r należy do zbioru reszt {0, 1, 2, ..., 9, 10}
   y należy do zbioru N liczba naturalnych.

   2x + 2 = 2×(11y + r) + 2 = 22y + 2r + 2 = 2×(11y + r + 1)

   Wynika stąd,że r + 1 dzieli się przez 11. Jedyną taką resztą r jest 10. To znaczy

   r =10

   x = 11y + 10

   Ogólna postać szukanej liczby, to

   420x + 2 = 420(11y + 10) + 2 = 420×11y + 4200 + 2 = 4620y + 422

   gdzie y należy do N Dla y = 0 otrzymamy najmnejszą taka liczbę:

   4620y + 4202 = 4620×0 + 4202 = 4202

   Odp.: Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania 5b liczba 4202.

Aleksander Bolesławski