LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006


Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Działania na potęgach i pierwiastkach.
2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.
Zadanie 1
Oblicz:       .

Rozwiązanie Dominika Adamowicza

Zadanie 2
Oblicz:       .

Zadanie 3
Uporządkuj liczby: 245, 336, 427, 518 od najmniejszej do największej.

Rozwiązanie Ani Bernat

Zadanie 4

Oblicz: .

Rozwiązanie Agnieszki Biegun

Zadanie 5
Dzieląc pewną liczbę przez 3, 4, 5, 6, 7 otrzymujemy tę samą resztę równą 2. 
  1. Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą od 10.
  2. Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.
Rozwiązanie Olka Bolesławskiego

Zadanie 6
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 31?

Rozwiązanie Pawła Bredy

Zadanie 7
Uzasadnić, że  5n + 5n+1 + 5n+2  jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Rozwiązanie Moniki Chwiałkowskiej

Zadanie 8
Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby: 2800, 5300, 8250, 9225, 16180.

Rozwiązanie Bartka Góry

Zadanie 9
Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Zadanie 10
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Zadanie 11
Oblicz:
  1. ,

  2. .
11a Rozwiązanie Małgosi Hapyn

Zadanie 12
Oblicz:
  1.  ,

  2.  ,

  3.  .
12a  Rozwiązanie Artura Iwickiego

12b  Rozwiązanie Oli Opali

12c  Rozwiązanie Martyny Polak

Zadanie 13
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę, jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie Dominiki Jackowskiej

Zadanie 14
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n4 + 7× (7 + 2n2) jest podzielna przez 64.

Zadanie 15
Sprawdź, że jeśli n jest liczba pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2 - 1 jest podzielna przez 24.

Rozwiązanie Grzegorza Jóźwiaka

Zadanie 16
Porównaj liczby:



16a Rozwiązanie Asi Karnowskiej

16b Rozwiązanie Jasia Rosy

Zadanie 17
Sprawdź czy prawdziwe są równości:
  1. ,
  2. .
17a Rozwiązanie Marty Kasprzak

17b Rozwiązanie Krzysia Rosy

Zadanie 18
Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Rozwiązanie Agaty Kwapisz

Zadanie 19
Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie Kuby Ładysza

Zadanie 20
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Rozwiązanie Janka Magrzyka

Zadanie 21
Wyznaczyć  liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie Karola Masłowskiego

Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.