Zadanie 1
Oblicz $\frac{2^{19}\cdot 27^{3}+15\cdot 4^{9}\cdot 9^{4}}{6^{9}\cdot 2^{10}+12^{10}}.$
Zadanie 2
Oblicz:
$\frac{\sqrt{6,3\cdot 1,7}\cdot\left(\sqrt{\frac{6,3}{1,7}}+\sqrt{\frac{1,7}{6,3}}\right)}{\sqrt{(6,3+ 1,7)^2-4\cdot 6,3\cdot 1,7}}$
Zadanie 3
Uporządkuj liczby $2^{45},\; 3^{36},\; 4^{27},\; 5^{18}$ od najmniejszej do największej.
Zadanie 4
Oblicz $\frac{\sqrt[4]{7\cdot \sqrt[3]{54}+15\cdot \sqrt[3]{128}}}{\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{162}}}.$
Zadanie 5
Dzieląc pewną liczbę przez 3, 4, 5, 6, 7 otrzymujemy tę samą resztę równą 2.
- Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą od 10.
- Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.
Zadanie 6
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 31?
Zadanie 7
Uzasadnić, że $5^n+5^{n+1}+5^{n+2}$ jes liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n.$
Zadanie 8
Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby: $2^{800},\; 5^{300},\; 8^{250},\; 9^{225},\; 16^{180}.$
Zadanie 9
Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.
Zadanie 10
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.
Zadanie 11
Oblicz:
- $\frac{10^{42}\cdot 7^{41}-10\cdot 5^{43}\cdot 14^{40}}{2^{42}\cdot35^{40}+10^{40}\cdot 7^{41}}.$
- $\frac{5\cdot 4^{45}\cdot 9^{9}-4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}}{5\cdot 2^{9}\cdot 6^{19}-7\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}}.$
Zadanie 12
Oblicz:
- $\sqrt{\frac{3-2\cdot \sqrt{2}}{17-12\cdot \sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\cdot \sqrt{2}}{17+12\cdot \sqrt{2}}}.$
- $5\cdot \sqrt[3]{6\cdot \sqrt{32}}-\sqrt[3]{9 \cdot\sqrt{162}}-\sqrt[6]{18}+2\cdot \sqrt[3]{75\cdot \sqrt{50}}.$
- $2\cdot \sqrt{160\cdot \sqrt{12}}+3\cdot \sqrt{20\cdot \sqrt{48}}-4\sqrt[4]{75}-4\cdot \sqrt{60\cdot \sqrt{27}}$
Zadanie 13
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę, jest podzielny przez 6.
Zadanie 14
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n^4 + 7\cdot(7 + 2n^2)$ jest podzielna przez 64.
Zadanie 15
Sprawdź, że jeśli $n$ jest liczba pierwszą różną od 2 i 3, to liczba $n^2 - 1$ jest podzielna przez 24.
Zadanie 16
Porównaj liczby:
- $\sqrt{2000}+\sqrt{2002} \text{ oraz } 2\sqrt{2001}$
- $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{5} \text{ oraz } \sqrt[3]{32}$
Zadanie 17
Sprawdź czy prawdziwe są równości:
- $\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{50}$
- $\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{2}=\sqrt{16}$
Zadanie 21
Wyznaczyć liczby pierwsze $p$, dla których liczba $2^p + 1$ jest podzielna przez 9.
Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.