LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 6
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest
podzielna przez 31?
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia:
S(x) - suma cyfr liczby x,
p - początek obydwu liczb (początkowa sekwencja cyfr),
c - pewna cyfra w mniejszej liczbie (różna od dziewiątki)
n - liczba dziewiątek na końcu liczby (za cyfrą c)
Dwie kolejne liczby naturalne te można przedstawić jako:
a = pc99...99
a + 1 = p(c+1)00...00.
A sumy ich cyfr:
S(a) = S(p) + c + 9n,
S(a + 1) = S(p)+ c + 1
Jeżeli dwie liczby dzielą się przez 31, to ich różnica też, a więc
S(a) - S(a+1) = S(p) + c + 9n - S(p) - c - 1 = 9n - 1 dzieli się przez 31
Liczba n daje pewną resztę r z dzielenia przez 31, więc można ją zapisać w postaci:
n = 31x + r
gdzie x należy do zbioru liczb naturalnych,
r należy należy do zboioru reszt {0,1,2,...,30}.
Wobec tego:
9n - 1 = 9×(31x + r) - 1 = 9×31×x + 9r - 1 musi dzielić się przez 31.
Poniewą 31|31x×9, więc 9r-1 musi być podzielne przez 31.
Sprawdźmy po kolei wartości 9r-1 dla wszystkich możliwych reszt r:
r="0," 9r-1="9×0-1=-1
r="1," 9r-1="9×1-1=8
r="2," 9r-1="9×2-1=17
r="3," 9r-1="9×3-1=26
r="4," 9r-1="9×4-1=35
r="5," 9r-1="9×5-1=34
r="6," 9r-1="9×6-1=53
r="7," 9r-1="9×7-1=62," ten wynik jest dobry, bo 31|62
r="8," 9r-1="9×8-1=71
r="9," 9r-1="9×9" 1="80
r="10," 9r-1="9×10-1=89
r="11," 9r-1="9×11-1=98
r="12," 9r-1="9×12-1=107
r="13," 9r-1="9×13-1=116
r="14," 9r-1="9×14-1=125
r="15," 9r-1="9×15-1=134
r="16," 9r-1="9×16-1=143
r="17," 9r-1="9×17-1=152
r="18," 9r-1="9×18-1=161
r="19," 9r-1="9×19-1=170
r="20," 9r-1="9×20-1=179
r="21," 9r-1="9×21-1=188
r="22," 9r-1="9×22-1=197
r="23," 9r-1="9×23-1=206
r="24," 9r-1="9×24-1=215
r="25," 9r-1="9×25-1=224
r="26," 9r-1="9×26-1=233
r="27," 9r-1="9×27-1=242
r="28," 9r-1="9×28-1=251
r="29," 9r-1="9×29-1=260
r="30," 9r-1="9×30-1=269
Tylko w przypadku r = 7 wynik 9r-1 dzieli się przez 31, czyli w najmniejszej z liczb jest 7
dziewiątek.
Najmniejsza liczba a musi być więc postaci a = pc9 999 999
Wtedy a + 1=
p(c+1)0 000 000
Sumy ich cyfr rożnią się o 7×9 - 1 = 62 = 2×31.
Jednak sama liczba a musi mieć sumę cyfr podzielną przez 31, więc S(a) = S(p) + c + 63 = S(p) + c + 1 + 2×31 dzieli się przez 31.
Najmniejszą taką liczbe dostaniemy, gdy cydra c będzie jak nawiększa a liczba p jak najmniejsza.
Zatem c = 8, p = 499.
a = 49 989 999 999
a + 1 = 49 990 000 000
Odpowiedź
Tak istnieją, a najmnisze takie to 49 989 999 999 i 49 990 000 000.
Paweł Bredy