LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 31?

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:
S(x) - suma cyfr liczby x,
p - początek obydwu liczb (początkowa sekwencja cyfr),
c - pewna cyfra w mniejszej liczbie (różna od dziewiątki)
n - liczba dziewiątek na końcu liczby (za cyfrą c)

Dwie kolejne liczby naturalne te można przedstawić jako:

a = pc99...99
a + 1 = p(c+1)00...00.

A sumy ich cyfr:

S(a) = S(p) + c + 9n,
S(a + 1) = S(p)+ c + 1

Jeżeli dwie liczby dzielą się przez 31, to ich różnica też, a więc

S(a) - S(a+1) = S(p) + c + 9n - S(p) - c - 1 = 9n - 1 dzieli się przez 31


Liczba n daje pewną resztę r z dzielenia przez 31, więc można ją zapisać w postaci:

n = 31x + r

gdzie x należy do zbioru liczb naturalnych,
r należy należy do zboioru reszt {0,1,2,...,30}. Wobec tego:

9n - 1 = 9×(31x + r) - 1 = 9×31×x + 9r - 1 musi dzielić się przez 31.

Poniewą 31|31x×9, więc 9r-1 musi być podzielne przez 31.

Sprawdźmy po kolei wartości 9r-1 dla wszystkich możliwych reszt r:

r=0, 9r-1=9×0-1=-1

r=1, 9r-1=9×1-1=8

r=2, 9r-1=9×2-1=17

r=3, 9r-1=9×3-1=26

r=4, 9r-1=9×4-1=35

r=5, 9r-1=9×5-1=34

r=6, 9r-1=9×6-1=53

r=7, 9r-1=9×7-1=62, ten wynik jest dobry, bo 31|62

r=8, 9r-1=9×8-1=71

r=9, 9r-1=9×9 1=80

r=10, 9r-1=9×10-1=89

r=11, 9r-1=9×11-1=98

r=12, 9r-1=9×12-1=107

r=13, 9r-1=9×13-1=116

r=14, 9r-1=9×14-1=125

r=15, 9r-1=9×15-1=134

r=16, 9r-1=9×16-1=143

r=17, 9r-1=9×17-1=152

r=18, 9r-1=9×18-1=161

r=19, 9r-1=9×19-1=170

r=20, 9r-1=9×20-1=179

r=21, 9r-1=9×21-1=188

r=22, 9r-1=9×22-1=197

r=23, 9r-1=9×23-1=206

r=24, 9r-1=9×24-1=215

r=25, 9r-1=9×25-1=224

r=26, 9r-1=9×26-1=233

r=27, 9r-1=9×27-1=242

r=28, 9r-1=9×28-1=251

r=29, 9r-1=9×29-1=260

r=30, 9r-1=9×30-1=269
Tylko w przypadku r = 7 wynik 9r-1 dzieli się przez 31, czyli w najmniejszej z liczb jest 7 dziewiątek.
Najmniejsza liczba a musi być więc postaci

a = pc9 999 999

Wtedy

a + 1= p(c+1)0 000 000

Sumy ich cyfr rożnią się o 7×9 - 1 = 62 = 2×31. Jednak sama liczba a musi mieć sumę cyfr podzielną przez 31, więc

S(a) = S(p) + c + 63 = S(p) + c + 1 + 2×31 dzieli się przez 31.

Najmniejszą taką liczbe dostaniemy, gdy cydra c będzie jak nawiększa a liczba p jak najmniejsza.

Zatem c = 8, p = 499.

a = 49 989 999 999

a + 1 = 49 990 000 000

Odpowiedź

Tak istnieją, a najmnisze takie to 49 989 999 999 i 49 990 000 000.

Paweł Bredy