Liga UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 13


Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę, jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie:

 Przyjmijmy, że n to dowolna liczba naturalna.

n3 - n = n (n2 - 1) = n (n - 1) (n + 1) = (n - 1) n (n + 1)

Liczby n - 1, n, n + 1 są to kolejne liczby naturalne. Więc jedna z nich musi się dzielić przez 3 i co najmniej jedna przez 2. Wynika z tego, że iloczyn tych liczb dzieli się przez 6, a co za tym idzie, to wyrażenie n3 - n też musi dzielić się przez 6.

Dominika Jackowska
kl. II a G ;)