Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie7

Uzasadnić, że 5ⁿ + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Rozwiązanie:

5ⁿ + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} = 5ⁿ (1 + 5 + 5²) =
= 5ⁿ × 31 = 5^{n - 1} × 5 × 31 = 5^{n - 1} × 155

Jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią to:

n należy do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, ...}

n - 1 należy do zbioru {0, 1, 2, 3, 4, ...}

5^{n - 1} należy do zbioru {1, 5, 25, 125, 625, ...}
więc 5^{n - 1} jest liczba całkowitą.

To dowodzi, że 5ⁿ + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} = 5^{n - 1} × 155 dzieli się przez 5.

Monika CHWIAŁKOWSKA