LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 15

Sprawdź, że jeśli n jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2 - 1 jest podzielna przez 24.

Rozwiązanie

  1. Liczba jest podzielna przez 24 wtedy i tylko wtedy gdy liczba jest podzielna przez 3 i 8.
  2. Wyrażenie n2 - 1 możemy zamienić zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na iloczyn: (n - 1)×(n + 1).
  3. Liczba pierwsza różna od 2 jest nieparzysta, więc n - 1 i n + 1 są kolejnymi liczbami parzystymi, czyli jedna z nich jest podzielna przez 4, a druga przez 2 ale nie przez 4.
    Wynika stąd, że iloczyn (n - 1)×(n + 1) jest podzielny przez 2×4 tzn. przez 8.
  4. Liczby pierwsza różna od 3 nie dzieli się przez 3, więc n nie dzieli się przez 3. Zatem n albo daje resztę 1 albo resztę 2 z dzielenia przez 3. Jeśli n daje resztę 1 to n - 1 dzieli się przez 3, a jeśli na daje resztę 2 to n + 1 dzieli się przez 3.
    Tak więc jedna z liczb n - 1 lub n + 1 na pewno dzieli się przez 3.
    No to iloczyn (n - 1)×(n + 1) też dzieli się przez 3.
Zobaczmy, jak wygląda sytuacja dla liczb pierwszych n < 40:

n n-1 n+1 (n+1)(n-1) (n+1)(n-1):24
5 4 6 24 1
7 6 8 48 2
11 10 12 120 5
13 12 14 168 7
17 16 18 288 12
19 18 20 360 15
23 22 24 528 22
29 28 30 840 35
31 30 32 960 40
39 38 40 1520 54


I tak dalej...

Grzegorz Jóźwiak

Klasa 2ag