LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi większymi od 2. Wysokość opuszczona na średni co do długości bok dzieli go na odcinki x oraz y. Oblicz |x-y|.

Rozwiązanie

Rozmiar: 2197 bajtów
Przyjmijmy, że x ł y i że x + y = a.
Powstały dwa trójkąty prostokątne, z których możemy wyliczyć h.

h2 + y2 = (a-1)2/-y2
h2 = (a-1)2 - y2

h2 + x2 = (a+1)2/-x2
h2 = (a+1)2 - x2

czyli

(a-1)2 - y2 = (a+1)2 - x2
a2 - 2a + 1 - y2 = a2 + 2a +1 - x2 / - a 2 + 2a - 1 + x2
x2 - y2 = 4a
(x + y)(x - y) = 4a / (x+y=a)
a(x - y) = 4a / :a
x - y = 4
|x - y| = 4

Odpowiedź

|x - y| = 4

Paweł Bredy