LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006


Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
2. Wielokąty foremne.
3. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.
4. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
Środkiem symetrii rombu jest punkt (0,0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Rozwiązanie Dominika Adamowicza

Zadanie 2
W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |ĐABC| = 110°, |ĐDBC| = 40°, |ĐACD| = 70°. Wyznaczyć |ĐCAD| i |ĐADC|.

Rozwiązanie Szymona Bały

Zadanie 3
Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 4 cm i 16 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie Ani Bernat

Zadanie 4
Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm.

Rozwiązanie Agnieszki Biegun

Zadanie 5
W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |ĐCAB| = 55° i |ĐABC| = 70°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC.

Rozwiązanie Olka Bolesławskiego

Zadanie 6
Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi większymi od 2. Wysokość opuszczona na średni bok dzieli go na odcinki długości x i y. Oblicz |x - y|.
Rozwiązanie Pawła Bredy

Zadanie 7
Dane są punkty A = (-4; 2), B = (2; 2), C = (2; -4). Niech A1, B1, C1 będą odpowiednio obrazami punktów A, B, C w symetrii względem osi X. Obliczyć obwód i pole figury:
  1. będącej częścią wspólną trójkątów ABC i A1B1C1,
  2. będącej sumą (złączeniem trójkątów ABC i A1B1C1.
Rozwiązanie Moniki Chwiałkowskiej

Zadanie 8
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (-1, ; -1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (-5; -1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Rozwiązanie Bartka Góry

Zadanie 9
Wyznaczyć pole o obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Rozwiązanie Amadeusza Grabca

Zadanie 10
Wyznaczyć pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch w podanej kolejności.

Rozwiązanie Tomka Grabca

Zadanie 11
Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.


Rozwiązanie Małgosi Hapyn

Zadanie 12
W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AM i BN. Ponadto punkt P jest środkiem boku AB oraz |ĐACB| = 60°. Udowodnić, że trójkąt MNP jest równoboczny.

Zadanie 13
Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu r.

Rozwiązanie Dominiki Jackowskiej

Zadanie 14
Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Tomka Jankowskiego

Zadanie 15
W rombie ABCD dane są wierzchołki A = (-1; 3) i C = (-1, 5). Wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i D wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Rozwiązanie Grzegorza Jóźwiaka

Zadanie 16
Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Zadanie 17
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Marty Kasprzak

Zadanie 18
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Niech r1 będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r2 - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BDC, r -  promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś h = |CD|. Udowodnij, że r1 + r2 + r = h.

Rozwiązanie Agaty Kwapisz

Zadanie 19
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Rozwiązanie Jakuba Ładysza

Zadanie 20
W czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D są proste oraz |AB| = |BC|. Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka B od prostej AD jest równa h.

Zadanie 21
Niech an będzie długością boku n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R.
Uzasadnij, że  .