Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Środkiem symetrii rombu jest punkt $(0,0).$ Jednym z jego wierzchołków jest punkt $(2,-2).$ Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

W czworokącie wypukłym $ABCD$ dane są: $|\angle ABC| = 110^{\circ}$, $|\angle DBC| = 40^{\circ},$ $|\angle ACD| = 70^{\circ}.$ Wyznaczyć $|\angle CAD| \text{ i } |\angle ADC|.$

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 4 cm i 16 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm.

W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, w którym $|\angle CAB| = 55^{\circ}$ $\text{ i } |\angle ABC| = 70^{\circ}.$ Przez punkt $C$ poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D.$ Oblicz miarę kąta $ADC.$

Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi większymi od 2. Wysokość opuszczona na średni bok dzieli go na odcinki długości $x\text{ i } y.$ Oblicz $|x - y|.$

Dane są punkty $A=(-4; 2),$ $B=(2; 2),$ $C=(2; -4).$ Niech $A_1,\; B_1,\; C_1$ będą odpowiednio obrazami punktów $A,\; B,\; C$ w symetrii względem osi $X.$ Obliczyć obwód i pole figury:

1. będącej częścią wspólną trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1,$
2. będącej sumą (złączeniem) trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1.$

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt $(-1,-1)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $(-5,-1)$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości $2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2}.$

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AM \text{ i }BN.$ Ponadto punkt $P$ jest środkiem boku $AB$ $\text{oraz }|\angle ACB| = 60^{\circ}.$ Udowodnić, że trójkąt $MNP$ jest równoboczny.

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu $r.$

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W rombie $ABCD$ dane są wierzchołki $A=(-1; 3)\text{ i } C=(-1, 5).$ Wyznaczyć współrzędne wierzchołków $B\text{ i } D$ wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD.$ Niech $r_1$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC,$ $r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $BDC,$ $r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC,$ $\text {zaś }h = |CD|.$ Udowodnij, że $r_1 + r_2 + r = h.$

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC,$ jeśli $|BH| - |HA| = |AC|,$ gdzie odcinek $CH$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$

W czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $B\text{ i } D$ są proste oraz $|AB| = |BC|.$ Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka $B$ od prostej $AD$ jest równa $h.$

Niech $a_n$ będzie długością boku $n$-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R.$ Uzasadnij, że $a^2_{2n}=2R^2-2R\cdot \sqrt{R^2-\frac{1}{4}\cdot a^2_{n}}$ .