LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 18:

W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Niech będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BDC, r - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś h = |CD|. Udowodnij, że .

ROZWIĄZANIE:

Zacznę od wyprowadzenia zależności między promieniem okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, a bokami tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Niech R oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC

Punkty K, L, M są punktami styczności okręgu z bokami trójkąta. Stąd:
|AK| = |AM| oraz |BK| = |BL|.

Czworokąt OLCM to kwadrat, więc
|CM| = |CL| = R.

MOŻNA WIĘC ZAPISAĆ:
|AC| + |BC| = |AM| + R + |BL| + R = |AK| + R + |KB| + R = |AB| + 2R

A więc:
Promień okr. wpis. = ½ (przyprotokątna + przyprotokątna - przeciwprostokątna)

Przechodę teraz do zadania.
Zastosuję podaną wyżej własność do wszystkich trzech trójkątów o których mowa w zadaniu.


c.n.d.

AGATA KWAPISZ