LIGA ZADANIOWA

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 19

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Rozwiązanie

Oznaczmy y = |BH| i x = |AH|.

Wtedy:

przeciwprostokątna AC ma długość: |AC| = x + y.
przyprostokątna AC ma długość: |AC| = x - y.

Z tw. Pitagorasa możemy wyznaczyć przyprostokątną CB:

|CB|² = (y + x)² - (x - y)²
|CB|² = y² + 2xy + x² - (x² - 2xy + y²)
|CB|² = y² + 2xy+x² - x² + 2xy - y²
|CB|² = 4xy

Możemy też wyznaczyć wysokość CH:

|BH|² + |CH|² = |CB|²
x² + |CH|² = 4xy / - x²
|CH|² = 4xy - x²

A teraz wyznaczymy x w zależności od y:

|AH|² + |CH|² = (x - y)²
y² + 4xy - x² = x² - 2xy + y²
6xy = 2x²/:2
x² = 3xy
x = 3y

|AB| = y + x = y + 3y = 4y
|AC| = x - y = 3y - y = 2y
Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC.

TWIERDZENIE
Gdy w trójkącie prostokątnym , krótsza przyprostokątna, jest 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej, to trójkąt ten ma kąty 90 ^o, 30 ^o przy dłuższym boku (CB) i 60 ^o przy krótszym boku (AC).

Bok AB ma miarę 4y i jest dwa razy dłuższy od boku AC, który ma miarę 2y ponieważ 4y:2y=2.

Odpowiedź:

Trójkąt przedstawiony w zadaniu, spełnia założenia twierdzenia, dlatego jego kąty mają miarę: 90^o, 60^o, 30^o.

Kuba Ładysz 2A