LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 19

Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.

Rozwiązanie

Mamy pokazać, że jeśli: liczba p-liczba pierwsza i p >  5
to: 240|p4-1

 p4 - 1 = (p2 - 1)(p2+1)=(p + 1)(p - 1)(p2 + 1)

p - liczba pierwsza i p >  5 => p nie dzieli się ani przez 2, ani przez 3, ani przez 5.

 Pokażę, że (p + 1)(p - 1)(p2 + 1) dzieli się przez 16

p nie dzieli się przez 2 => 2|p+1 i 2|p-1
p-1, p+1 to kolejne liczby parzystem więc albo p-1 dzieli się przez 4 albo p+1 dzieli się 4.
Ostatecznie

2×4|(p-1)(p+1)

i jeszcze 2|p2+1 więc

2×2×4|(p-1)(p+1)(p2+1)

 Pokażę, że (p + 1)(p - 1)(p2 + 1) dzieli się przez 5

Liczbab p nie dzieli się orzez 5 więc możliwy jest jeden sz poniższych przypadków:

p = 5t + 1, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 1 z dzielenia przez 5)
p = 5t + 2, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 2 z dzielenia przez 5)
p = 5t + 3, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 3 z dzielenia przez 5)
p = 5t + 4, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 4 z dzielenia przez 5)

Jeśli p = 5t + 1 to 5 | p - 1

Jeśli p = 5t + 4 to 5 | p + 1

Jeśli p = 5t + 2 to p2 + 1 = (5t + 2)2 + 1 = 25t2 + 20t + 4 + 1 = 25t2 + 20t + 5
Czyli 5 | p2 + 1

Jeśli p = 5t + 3 to p2 + 1 = (5t + 3)2 + 1 = 25t2 + 30t + 9 + 1 = 25t2 + 30t + 10
Czyli 5|p2 + 1

Ostatecznie p4 -1 = (p-1)(p+1)(p2+1) dzieli się zawsze przez 5.

 Pokażę, że (p + 1)(p - 1)(p2 + 1) dzieli się przez 3

Liczbab p nie dzieli się orzez 3 więc możliwy jest jeden sz poniższych przypadków:

p = 3t + 1, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 1 z dzielenia przez 3)
p = 3t + 2, gdzie t jest liczbą naturalną (p daje reszte 2 z dzielenia przez 3)

Jeśli p = 3t + 1 to 3 | p - 1

Jeśli p = 3t + 2 to 5 | p + 1

Ostatecznie p4 -1 = (p-1)(p+1)(p2+1) dzieli się zawsze przez 3.

 Pokazaliśmy,ze że (p + 1)(p - 1)(p2 + 1) dzieli się przez 16, 5 i 3

Tym samym

p4 - 1 dzieli się przez 16 × 5 × 3 = 240.

Jakub Ładysz