LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Zadanie 22
Dwie liczby zwierciadlane (jedna powstaje z drugiej, gdy ją odczytać od końca na przykład 347 oraz 743 ) pomnożono i otrzymano wynik 92565.Jakie to liczby?
Rozwiązanie
Oznaczmy to w ten sposób:
xyz × zyx = 92565
Ale mamy na myśli:
(100x+10y+1z) × (100z+10y+1x) = 92565
Wynik ten ma na końcu cyfrę 5. Znaczy to, że jest wielokrotnością piątki (lub liczby z cyfrą 5 na końcu). Jeden z czynników ma na końcu cyfrę 5.
z=5 (nie ma znaczenia czy jest to z czy x, ponieważ mnożenie jest przemienne)
Działanie wygląda teraz tak:
xy5 × 5yx = 92565
Wynik jest iloczynem liczby trzycyfrowej i liczby większej lub równej 500 mniejszej od 600. Ale np. 300 × 500 = 150000. Liczba ta jest większa od 92565.
3 nie może stać na miejscu x. Podobnie jest z dwójką, ponieważ 200 × 500 daje liczbę o tej samej ilości cyfr. Tylko 1 może stać na miejscu x.
1y5 × 5y1 = 92565
Y można wyliczyć za pomocą równania:
(100+10y+1) × (500+10y+5) = 92565
50000+1000y+2500+5000y+100y2+50y+500+10y+5) = 92565
52605+6060y+100y2 = 92565
6060y+100y2 = 39960
3032+2×303×10y+(10y)2 = 39960 + 3032
(303+10y)2 = 131769
303+10y = 363
y=6
Odpowiedź
Tymi liczbami są 561 i 165.
Tomek Michalski