Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 6

Czy liczba 444...4, w której cyfra 4 powtarza się 2004 razy, jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie:

Jeżeli kwadrat liczby naturalnej dzieli się przez liczbę pierwszą p to dzieli się on także przez p².

Suma cyfr liczby 444...4, gdzie cyfra 4 powtarza się 2004 razy, wynosi:

2004 × 4 = 2×2×3×167

Widzimy więc, że suma cyfra dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9.

Z cechy podzielności przez 3 i 9 wynika, że liczba 444...4, gdzie cyfra 4 powtarza się 2004 razy, dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9 (czyli dzieli się przez liczbę pierwszą p=3, ale nie dzieli się przez kwadrat tej liczby p² = 9).

Odpowiedź:

Liczba 444...4, w której cyfra 4 powtarza się 2004 razy, nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.

Jakub Szponder