LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA ABSOLWENTÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 6

Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby: 2100+3100+5100.

Rozwiązanie:

21=2 31=3 51=5
22=4 32=9 52=25
23=8 33=27 53=125
24=16 34=81 54=625
25=32 35=243 55=3125
cykl= 4 cykl= 4 cykl= 1

Widzimy, że w pierwszych dwóch przypadkach cyfra jedności będzie się powtarzać co 4. Ponadto:

Jeśli wykładnik dzieli się przez 4 to:
  • cyfrą jedności potęgi liczby 2 jest 6
  • a cyfrą jedności potegi liczby 3 jest 1.
  • Ponadto każda podęga liczby 5 kończy się na 5.
Nas interesują potęgi o wykładniku 100.
100 jest liczbą podzielną przez 4, więc :
  • cyfrą jedności potęgi 2100 jest 6,
  • cyfrą jedności potęgi 3100 jest 1,
  • cyfrą jedności potęgi 5100 jest 5.
Suma tych potęg będie się kończyła cyfrą jedności wyniku dodawania: 6+1+5="12

Odpowiedź:

Ostatnią cyfrą liczby 2100+3100+5100 jest 2

Jakub Szponder