LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 23

1. Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą niż 10.
2. Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.

Rozwiązanie

NWW(3,4,5,6,7) = NWW(4,5,6,7) = NWW(4,5,3,7) = 4^.5^.3^.7 = 420

n - poszukiwana liczba

1. n = 420k+2 , gdzie k oznacza liczbę naturalną

   n > 10

   najmniejsze liczbę n większą od 10 otrzymamy dla k = 1:

   n = 420.1 + 2 n = 422

2. n = 420k + 2, gdzie k oznacza liczbę całkowitą

   To czy liczba 420k + 2 dzieli się przez 11 zależy od tego jaka jest reszta z dzielenia liczby k przez 11.

   k = 11c + r

   gdzie c jest pewna liczbą naturalną, a r jest resztą z dzielenia przez 11, tzn. r Î {0, 1, 2, ..., 10} tzn.

   n = 420k + 2 n = 420(11c + r) + 2 n = 420×11c + 420r + 2 n = 420×11c + 2(210r + 1) n = 420×11c + 2(209r + r + 1) n = 420×11c + 2(19×11r + r + 1)

   Wynika stąd, że r + 1 musi dzielić się przez 11. Stąd

   r = 10 n = 420(11c + 10) + 2 n = 4620 ×11c + 4202

   Najmniejszą liczbę n otrzymamy dla c = 0:

   n = 4620 ×0 + 4202 n = 4202

Autor: Katarzyna Truszkowska