LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 12
  1. Jeżeli do ułamka nieskracalnego dodamy 1, to otrzymamy ułamek nieskracalny. Dlaczego?
  2. Jeżeli ułamek właściwy jest nieskracalny, to ułamek dopełniający go do jedności także jest nieskracalny. Dlaczego?

Rozwiązanie

Sprawdziłam najpierw na przykładach jak to działa:

12a12b

Zgadza się bo:

NWD(10,7)=1 i NWD (10+7,7)=1

Zgadza się bo:

NWD(5,11)=1 i NWD (11-5,11)=1

Teraz widzę, że jest to oczywiste, bo gdyby suma lub różnica dwóch liczb miała wspólne dzielniki z jedną z tych liczb, to druga z tych liczb też miałaby by ten dzielnik.

ad a)

Gdyby ułamek był skracalny, to:
  1. Liczby a i b miałyby największy wspólny dzielnik, (oznaczmy go przez d) różny od 1.

    NWD(a, a + b) = d ą 1

  2. Liczbę a można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby d:

    a = da' gdzie a' jest jakąś liczbą całkowitą..

  3. Liczbę a + b można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby d:

    a + b = db' gdzie b' jest jakąś liczbą całkowitą. .

    Wtedy b jest też całkowitą wielokrotnością liczby d bo:

    b = (a + b) - a = db' - da' = d(b' - a')

    i ułamek jest skracalny przez liczbę d.

ad b)

Gdyby ułamek był skracalny, to:
  1. Liczby b i b - a miałyby największy wspólny dzielnik, (oznaczmy go przez D) różny od 1.

    NWD(a, a + b) = D ą 1

  2. Liczbę a można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby D:

    b = Db''     gdzie b'' jest jakąś liczbą całkowitą.

  3. Liczbę a + b można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby D:

    b - a = Da''     gdzie a'' jest jakąś liczbą całkowitą. .

    Wtedy a jest też całkowitą wielokrotnością liczby D bo:

    a = b - (b - a) = Db'' - Da'' = D(b'' - a'')

    i ułamek jest skracalny przez liczbę D.

Autor: Katarzyna Truszkowska