LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

1. Jeżeli do ułamka nieskracalnego dodamy 1, to otrzymamy ułamek nieskracalny. Dlaczego?
2. Jeżeli ułamek właściwy jest nieskracalny, to ułamek dopełniający go do jedności także jest nieskracalny. Dlaczego?

Rozwiązanie

12a	12b
Zgadza się bo: NWD(10,7)=1 i NWD (10+7,7)=1	Zgadza się bo: NWD(5,11)=1 i NWD (11-5,11)=1

ad a)

1. Liczby a i b miałyby największy wspólny dzielnik, (oznaczmy go przez d) różny od 1.

   NWD(a, a + b) = d ą 1

2. Liczbę a można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby d:

   a = da' gdzie a' jest jakąś liczbą całkowitą..

3. Liczbę a + b można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby d:

   a + b = db' gdzie b' jest jakąś liczbą całkowitą. .

   ---

   Wtedy b jest też całkowitą wielokrotnością liczby d bo:

   b = (a + b) - a = db' - da' = d(b' - a')

   i ułamek jest skracalny przez liczbę d.

ad b)

1. Liczby b i b - a miałyby największy wspólny dzielnik, (oznaczmy go przez D) różny od 1.

   NWD(a, a + b) = D ą 1

2. Liczbę a można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby D:

   b = Db''     gdzie b'' jest jakąś liczbą całkowitą.

3. Liczbę a + b można przedstawić w postaci całkowitej wielokrotności liczby D:

   b - a = Da''     gdzie a'' jest jakąś liczbą całkowitą. .

   ---

   Wtedy a jest też całkowitą wielokrotnością liczby D bo:

   a = b - (b - a) = Db'' - Da'' = D(b'' - a'')

   i ułamek jest skracalny przez liczbę D.

Autor: Katarzyna Truszkowska