Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA ABSOLWENTÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 3

Ile razy w ciągu doby wskazówki minutowa i godzinowa tworzą kąt prosty?

W ciągu jednej godziny:

wskazówka minutowa wykonuje obrót o 360°, tzn zatacza 1 cały okrąg;
wskazówka godzinowa wykonuje obrót 30°, tzn zatacza okręgu tarczy zegara;
różnica pomiędzy wskazówką minutową, a wskazówką godzinową jest równa 330°, czyli okręgu tarczy zegara.

Wynika stąd, że w czasie t podanym w godzinach:

różnica pomiędzy wskazówką minutową, a wskazówką godzinową jest równa t × 330°, czyli t × okręgu tarczy zegara.

Popatrzmy teraz na rysunek:

jeśli po czasie t wskazówki zegara tworzą ponownie kąt prosty, to znaczy, że różnica dróg jakie pokonały wskazówka godzinowa i minutowa wynosi 180° czyli okręgu.

W początkowym położeniu:

wskazówka minutowa jest w pozycji M,
wskazówka godzinowa w pozycji G.
wkazówki są ustawione pod kątem prostym.

Po czasie t wskazówki są ponownie pod kątem prostym.

Wobec tego w czasie t:

wskazówka godzinowa przesunęła się o x° i jest w położeniu G'.
wskazówka minutowa przesunęła się o 90° + x° + 90° i jest w położeniu M'.
Różnica przesunięć wynosi: (90° + x° + 90°) - (x°) = 180°

Możemy teraz policzyć najkrótszy odcinek czasu t jaki musi upłynąć aby wskazówka minutowa i godzinowa ustawiły się ponownie pod kątem prostym jeśli na początku także były ustawione pod kątem protym:

t × okręgu = okręgu.

t × =

Dzielimy obie strony rónania przez

t = (godziny)

Wiemy już, że co

godziny wskazówki ustawiają się pod katem prostym.

Odpowiedź na zadanie uzyskamy dzieląc ilość godzin upływających w ciągu doby przez czas, po którym wskazówki tworzą kolejny kąt prosty.

Odpowiedź: W ciągu doby wskazówki minutowa i godzinowa utworza kat prosty 44 razy.

Agata Wiklendt