LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA ABSOLWENTÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

ZADANIE 2

Ile jest liczb czterocyfrowych, które nie dzielą się przez tysiąc i których pierwsza lub ostatnia cyfra jest parzysta?

Rozwiązanie

Zacznijmy od policzenia ile jest liczb czterocyfrowych:
Liczbę czterocyfrową oznaczmy jako ABCD. A oznacza liczbę tysięcy, B oznacza liczbę setek, C oznacza liczbę dziesiątek a D oznacza liczbę jedności.
Za A możemy podstawić cyfry od 1-9, więc mamy dziewięć sposobów przedstawienia liczby A.
Za B możemy podstawić cyfry od 0-9, więc mamy dziesięć sposobów przedstawienia liczby B.
Za C możemy podstawić cyfry od 0-9, więc mamy dziesięć sposobów przedstawienia liczby C.
Za D możemy podstawić cyfry od 0-9, więc mamy dziesięć sposobów przedstawienia liczby D.
Teraz pomnóżmy te liczby:

9x10x10x10 = 9000

Mamy 9000 liczb czterocyfrowych.

Teraz musimy obliczyć ile jest liczb czterocyfrowych, których pierwsza lub ostatnia cyfra jest nieparzysta:
Znów posłużmy się wzorem liczby czterocyfrowej ABCD. W tym wypadku:
Za A możemy podstawić same liczby nieparzyste od 0-9, są to 1;3;5;7;9 , więc A możemy przedstawić na pięć sposobów.
Za B możemy podstawić każdą liczbę od 0-9, więc B możemy przedstawić na dziesięć sposobów.
Za C możemy podstawić każdą liczbę od 0-9, więc C możemy przedstawić na dziesięć sposobów.
Za D możemy podstawić same liczby nieparzyste od 0-9, są to 1;3;5;7;9 , więc D możemy przedstawić na pięć sposobów.
Więc liczb czterocyfrowych, których pierwsza lub ostatnia cyfra jest nieparzysta mamy:

5x10x10x5 = 2500

Pozostało nam policzyć ile jest liczb czterocyfrowych, których pierwsza lub ostatnia cyfra jest parzysta i które dzielą się przez 1000:
Wśród liczb czterocyfrowych mamy 9 liczb dzielących się przez 1000:
1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000

Tylko 4 z nich ma na na początku cyfrę parzystą.

Teraz wystarczy odjąć:

9000-2500-4 = 6496

Odpowiedź:

Liczb czterocyfrowych, które nie dzielą się przez 1000 i których pierwsza lub ostatnia cyfra jest parzysta jest 6496


Karolina Żółtewicz
kl.IIa