Liga

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 17

Udowodnij, że jeśli liczba n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie:

n⁴ - 1 = (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1)(n + 1)(n² + 1)

Jeśli n jest liczba nieparzystą, to liczby (n - 1) i (n + 1) są kolejnymi liczbami parzystymi. Co druga liczba parzysta dzieli się przez 4, więc jedna z nich dzieli się przez 2 a druga przez 4. Stąd iloczyn (n - 1)(n + 1) jest podzielny przez 8.
Ponadto jeśli n jest liczbą nieparzystą to n² też jest liczbą nieparzystą i stąd (n² + 1) jest liczbą parzystą.
Stąd (n - 1)(n + 1)(n² + 1) dzieli się przez 16.

Marta Kasprzak