LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 4

Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na okręgu.

Rozwiązanie

Jeśli jeden z boków trójkąta leży na długości okręgu, możemy posłużyć się pięciokątem foremnym.
Jeśli mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, kąty przy jego podstawie muszą być równe. Oznaczmy je z, a kąt między jego ramionami y. Zaznaczmy kąt środkowy okręgu. Jego rozwartość będzie równa 72o, ponieważ 360o (kąt pełny) podzielone na 5, czyli długości okręgu, daje 72°. Zastosujmy twierdzenie, które mówi, że kąt wpisany równa się dwóm kątom środkowym:

72° : 2 = 36°

więc kąt y ma miarę równą 36° lub kąt z ma miarę równą 36° .

I   II  
 

Jeśli y ma miarę równą 36° to ponieważ kąty przy podstawie trójkąta mają tę samą rozwartość, otrzymamy:

z = (180° - 36°) : 2 = 144 : 2 = 72°

 

Jeśli z ma miarę równą 36° to ponieważ kąty przy podstawie trójkąta mają tę samą rozwartość, otrzymamy:

y = 180° - 2z = 180° - 2×36° = 108°

Odpowiedź: Ostatecznie trójkat ten może miać kąty o miarach:

y = 36°, z = 72° i z = 72°      lub      y = 108°, z = 36° i z = 36°.

Izabella Grzebieniak

KLASA IA