LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006

Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka:
1. Układ współrzędnych.
2. Kąty w kole.
3. Kąty wierzchołkowe i naprzemianległe, przyległe i odpowiadające.
4. Kąty zewnętrzne i wewnętrzne różnych trójkątów.
5. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
6. Pola wielokątów.
Zadanie 1
Oblicz pole czworokąta ABCD, mając dane współrzędne punktów:

A = (3; -1), B = (4; 4), C = (-2; 3), D = (2; 2).

Rozwiązanie Magdy Balickiej

Zadanie 2
Punkty A = (4,-2) i B = (4,4) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że:
  1. trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek AB jest jego podstawą,
  2. trójkąt ABC jest prostokątny,
  3. druga współrzędna punktu C jest równa -3.

Rozwiązanie Magdy Barańskiej

Zadanie 3
Uzupełnij kwadrat magiczny:

  -2n2 - 1 n2
  3n2  
     

Rozwiązanie Pawła Byczkowskiego

Zadanie 4
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na 1/5 okręgu.

Rozwiązanie Izy Grzebieniak

Zadanie 5
Wiedząc, że , oblicz .

Rozwiązanie Lidii Gużyńskiej

Zadanie 6
Na rysunku widoczny jest kwadrat i trójkąt równoboczny. Kąt a ma miarę 70°. Oblicz miary dwóch katów zaznaczonych na rysunku.
Rozwiązanie Karoliny Gwizdały

Zadanie 7
Dane są punkty: (-2,-1), (4, 1), (0, 3). Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.

Rozwiązanie Filipa Idzikowskiego

Zadanie 8
Zapisz i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, na którego podstawie można obliczyć kwotę spłaconych pieniędzy, jeśli mowa między dłużnikiem a wierzycielem zakłada, że pierwsze trzy raty będą jednakowej wysokości, a każda następna będzie równa połowie poprzedniej oraz, że wszystkich rat będzie 10.

Rozwiązanie Olivii Klepackiej

Zadanie 9
Jakie jest pole i obwód narysowanego wielokąta? Odpowiedź podaj w postaci jak najprostszego wyrażenia algebraicznego.

Zadanie 10
Liczby x i y są dodatnie.
Co jest większe: 130% sumy liczb x i y czy suma 130% liczby x i 120% liczby y?

Rozwiązanie Marcina Kormana

Zadanie 11
Na okręgu obrano kolejne punkty A, B, C, D, które podzieliły okrąg na cztery części w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary kątów czworokąta ABCD.

Rozwiązanie Bartka Majewskiego

Zadanie 12
Wszystkie wierzchołki czworokąta ABCD leżą na okręgu, a przekątne czworokąta przecinają się w punkcie S różnym od środka okręgu.
Ile stopni ma kąt ACD jeśli |ĐDAB| = 80°, |ĐBSC| = 110°, a |ĐABC| = 80°?

Rozwiązanie Rozalii Makowskiej

Zadanie 13
Czy można narysować:
  1. pięciokąt wypukły, który ma wszystkie kąty rozwarte?
  2. pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre?
  3. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty są rozwarte?
  4. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa kąty są ostre?
Rozwiązanie Mikołaja Niedzieli

Zadanie 14
Dane są okrąg i dwa różne punkty A i B należące do tego okręgu. Na łuku AB obieramy dowolny punkt P różny od punktów A i B, a na pozostałej części okręgu - dowolny punkt Q.
Uzasadnij, że suma kątów BPA i AQB jest kątem półpełnym.

Zadanie 15
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty A, B, C w ten sposób, że odcinek AC jest średnicą okręgu. Następnie ze środka O poprowadzono odcinki OD i OE prostopadłe do cięciw AB i BC w ten sposób, że punkt D leży na cięciwie AB, a punkt E leży na cięciwie BC.
  1. Jakim czworokątem jest czworokąt ABCD?
  2. Uzasadnij, że |AD| = |DB| i |BE| = |EC|.

Rozwiązanie Miłosza Paczkowskiego

Zadanie 16
W każdym z wielokątów na rysunkach poniżej oblicz sumę miar kątów zaznaczonych łukami. Co zauważyłeś?

(a) (b) (c)



Rozwiązanie Bogny Pastwy

Zadanie 17
Punkty A = (3,4) i B = (3,10) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że:
  1. trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek AB jest jego podstawą,
  2. trójkąt ABC jest prostokątny,
  3. druga współrzędna punktu C jest równa -3.

Rozwiązanie Macieja Perdeni

Zadanie 18
Na okręgu o środku O oznaczono punkty A, B, C tak, że kąt ABC wpisany w ten okrąg ma miarę 40°, a kąt środkowy BOC ma miarę 160°. Oblicz miary kątów w trójkątach AOB, AOC, BOC.
Rozwiązanie Jakuba Polaka

Zadanie 19
Na danym okręgu o środku O obieramy dwa różne punkty i prowadzimy przez te punkty styczne przecinające się w punkcie P. Jak należy obrać punkty A i B, aby:
  1. trójkąt ABP był równoboczny?
  2. czworokąt ABPO był kwadratem?
Zadanie 20
Oblicz miary kątów trójkąta AOB jeśli miara kąta ACB jest równa 42°.

Rozwiązanie Bartka Rembezy

Zadanie 21
Wyznacz miarę kąta b.

Rozwiązanie Karola Romanowskiego

Zadanie 22
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że 0 < x < 1.

Rozwiązanie Pawła Sołtysińskiego

Zadanie 23
Na rysunku punkty A, B, C, D, E dzielą okrąg na równe części. Oblicz miary kątów: wpisanego CDE, kąta CDE oraz kąta CFB.

Rozwiązanie Joasi Sucheckiej

Uwaga:
Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książce Liga Zadaniowa na stronach 25-27, 15-18, 78-90.