Zadanie 1
Oblicz pole czworokąta ABCD, mając dane współrzędne punktów: $A = (3, -1)$, $B = (4, 4)$, $C = (-2,3)$, $D = (2,2)$.
Zadanie 2
Punkty $A = (4,-2$) i $B = (4,4)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu $C$ wiedząc, że:
- trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek $AB$ jest jego podstawą,
- trójkąt $ABC$ jest prostokątny,
- druga współrzędna punktu $C$ jest równa -3.
Zadanie 3
Uzupełnij kwadrat magiczny.
| $-2n^2-1$ | $n^2$ | |
| $3n^2$ | ||
Zadanie 4
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na $\frac{1}{5}$ okręgu.
Zadanie 5
Wiedząc, że $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{2005}$ oblicz $\frac{b}{a+3b}.$
Zadanie 6
Na rysunku widoczny jest kwadrat i trójkąt równoboczny.
Kąt $\alpha$ ma miarę $70^{\circ}$.
Oblicz miary dwóch kątów zaznaczonych na rysunku.
Kąt $\alpha$ ma miarę $70^{\circ}$.
Oblicz miary dwóch kątów zaznaczonych na rysunku.
Zadanie 7
Dane są punkty: $(-2,-1)$, $(4, 1)$, $(0, 3)$. Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.
Zapisz i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, na którego podstawie można obliczyć kwotę spłaconych pieniędzy, jeśli mowa między dłużnikiem a wierzycielem zakłada, że pierwsze trzy raty będą jednakowej wysokości, a każda następna będzie równa połowie poprzedniej oraz, że wszystkich rat będzie 10.
Zadanie 9
Jakie jest pole i obwód narysowanego wielokąta? Odpowiedź podaj w postaci jak najprostszego wyrażenia algebraicznego.
Zadanie 10
Liczby $x$ i $y$ są dodatnie.
Co jest większe: 130% sumy liczb $x$ i $y$ czy suma 130% liczby $x$ i 120% liczby $y$?
Co jest większe: 130% sumy liczb $x$ i $y$ czy suma 130% liczby $x$ i 120% liczby $y$?
Zadanie 11
Na okręgu obrano kolejne punkty $A$, $B$, $C$, $D$, które podzieliły okrąg na cztery części w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary kątów czworokąta $ABCD$.
Zadanie 12
Wszystkie wierzchołki czworokąta $ABCD$ leżą na okręgu, a przekątne czworokąta przecinają się w punkcie $S$ różnym od środka okręgu.
Ile stopni ma kąt $ACD$ jeśli $|\angle DAB| = 80^{\circ}$, $|\angle BSC| = 110^{\circ}$, a $|\angle ABC| = 80^{\circ}$?
Zadanie 13
Czy można narysować:
- pięciokąt wypukły, który ma wszystkie kąty rozwarte?
- pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre?
- sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty są rozwarte?
- sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa kąty są ostre?
Zadanie 14
Dane są okrąg i dwa różne punkty $A$ i $B$ należące do tego okręgu. Na łuku $AB$ obieramy dowolny punkt $P$ różny od punktów $A$ i $B$, a na pozostałej części okręgu - dowolny punkt $Q$. Uzasadnij, że suma kątów $BPA$ i $AQB$ jest kątem półpełnym.
Zadanie 15
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C$ w ten sposób, że odcinek $AC$ jest średnicą okręgu.
Następnie ze środka $O$ poprowadzono odcinki $OD$ i $OE$ prostopadłe do cięciw $AB$ i $BC$ w ten sposób, że punkt $D$ leży na cięciwie $AB$, a punkt $E$ leży na cięciwie $BC$.
Następnie ze środka $O$ poprowadzono odcinki $OD$ i $OE$ prostopadłe do cięciw $AB$ i $BC$ w ten sposób, że punkt $D$ leży na cięciwie $AB$, a punkt $E$ leży na cięciwie $BC$.
- Jakim czworokątem jest czworokąt $ABCD$?
- Uzasadnij, że $|AD| = |DB|$ i $|BE| = |EC|$.
Zadanie 16
W każdym z wielokątów na rysunkach poniżej oblicz sumę miar kątów zaznaczonych łukami.
(a)
(b)
(c)
Zadanie 17
Punkty $A = (3,4)$ i $B = (3,10)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu $C$ wiedząc, że:
- trójkąt $ABC$ jest równoramienny i odcinek $AB$ jest jego podstawą,
- trójkąt $ABC$ jest prostokątny,
- druga współrzędna punktu $C$ jest równa -3.
Zadanie 18
Na okręgu o środku $O$ oznaczono punkty $A$, $B$, $C$ tak, że kąt $ABC$ wpisany w ten okrąg ma miarę $40^{\circ}$, a kąt środkowy $BOC$ ma miarę $160^{\circ}.$ Oblicz miary kątów w trójkątach $AOB$, $AOC$, $BOC.$
Zadanie 19
Na danym okręgu o środku O obieramy dwa różne punkty i prowadzimy przez te punkty styczne przecinające się w punkcie $P$. Jak należy obrać punkty $A$ i $B$, aby:
- trójkąt $ABP$ był równoboczny?
- czworokąt $ABPO$ był kwadratem?
Zadanie 20
Oblicz miary kątów trójkąta $AOB$ jeśli miara kąta $ACB$ jest równa $42^{\circ}.$
Zadanie 21
Wyznacz miarę kąta $\beta.$
Zadanie 22
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że $0 \lt x \lt 1.$
Zadanie 23
Na rysunku punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ dzielą okrąg na równe części. Oblicz miary kątów: wpisanego $CDE$, kąta $CDE$ oraz kąta $CFB.$
Uwaga: Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książce Liga Zadaniowa na stronach 25-27, 15-18, 78-90.