LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 7

Dane są punkty: (-2,-1), (4, 1), (0, 3). Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.

ROZWIĄZANIE:

Połączę podane punkty, aby powstał taki ładny trójkąt, jak na rysunku.

Następnie należy zastanowić się nad ustaleniem wierzchołków poszukiwanych równoległoboków.
Jest to dość łatwe. Zdradzę wam jak to zrobić.

Pierwszy równoległobok:

Należy odbić symetrycznie wierzchołek (-2,-1) względem środka przeciwległego boku:

No i mamy pierwszy równoległobok.

Drugi równoległobok:

Należy odbić symetrycznie wierzchołek (4,1) względem środka przeciwległego boku.

No i mamy drugi równoległobok.

Trzeci równoległobok:

Należy odbić symetrycznie wierzchołek (0,3) względem środka przeciwległego boku.

To jest trzeci, a zarazem ostatni poszukiwany przez nas równoległobok.

Zakończyliśmy więc pierwszą część zadania. Teraz trzeba obliczyć pola naszych równoległoboków.

Zacznijmy od tego, że każdy z tych równoległoboków ma te samo pole, więc jeżeli obliczymy pole jednego z nich, to będziemy mieli pole pozostałych.

Obliczmy więc pole np. pierwszego równoległoboku.

Aby obliczyć jego pole możemy:

-zamknąć nasz równoległobok w prostokącie (tak jak na rysunku):

-obliczyć pole "dużego" prostokąta:

6j x 8j= 48j2

-obliczyć pola figur, które znajdują się w prostokącie, ale nie są w równoległoboku:

2j * 2j = 4j2
2j * 2j = 4j2
4j * 2j * 0,5 = 4j2
4j * 2j * 0,5 = 4j2
6j * 2j * 0,5 = 6j2
6j * 2j * 0,5 = 6j2

(4j2 * 4) + (2 * 6j2) = 24j2

-odjąć od pola "dużego" prostokąta pola figur, które znajdują się w prostokącie, ale nie są w równoległoboku

48j2 - 24j2 = 24j2

ODPOWIEDŹ:

Istnieją 3 równoległoboki o podanych właściwościach.
Pole każdego z nich jest równe 24j2.

FILIP IDZIKOWSKI