LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 22

Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że 0 < x < 1.

Rozwiązanie:

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku mamy policzyć pole czworokąta ABCDE.

Jeśli jednak odetniemy od tego czworokąta trójkąt BCD i dokleimy go tak, że DC pokryje się z ED to trzymamy czworokąt FABD o tym, samym polu.

Czworokąt ten składa się z dwóch trójkątów ABD i FAD o bokach tej samej długości. Z cechy przystawania trójkątów (bok, bok, bok) wynika, że te trójkąty są więc przystające a co za tym idzie - mają to samo pole.

Pole trójkąta FAD jest równe

PFAD½×|FA|×|DE| = ½×1×1 = ½

Stąd:

PABD = ½

Stąd:

PFABD = PFAD + PABD = ½ + ½ = 1

Stąd:

PABCDE = PFABD = 1

Odpowiedź:

Pole wielokąta wynosi 1 (w jednostkach kwadratowych).

Paweł Sołtysiński