LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 18

Na okręgu o środku O oznaczono punkty A, B, C tak, że kąt ABC wpisany w ten okrąg ma miarę 40°, a kąt środkowy BOC ma miarę 160°. Oblicz miary kątów w trójkątach AOB, AOC, BOC.

ROZWIĄZANIE

Trójkąt AOC

Kąt ABC, który ma 40° jest oparty na tym samym łuku co kąt AOC. Korzystając z twierdzenia, że kąt środkowy jest 2 razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samymy łuku mamy, że kąt AOC ma 80°.
Wiemy, że trójkąt AOC jest równoramienny (jego ramiona są promieniami okręgu), więc 2 pozostałe kąty w tym trójkącie muszą być równej miary (a suma kątów w trójkącie jest równa 180°):   180° - 80° = 100°  i  
100° : 2 = 50°, czyli 2 pozostałe kąty w tym trójkącie AOC mają po 50°.

Trójkąt AOB

Wiemy, że suma kątów środkowych w kole równa się 360°. Mamy podane już wartości kątów 80° i 160°, więc miara kąta AOB wynosi 360° - (80° + 160°) = 120°. Trójkąt AOB jest to również równoramienny:   180° - 120° = 60°  i  60° : 2 = 30°, więc dwa pozostałe kąty tego trójkąta mają po 30°.

Trójkąt BOC

Mamy podany tu już kąt 160°. Trójkat jest równoramienny więc możemy policzyć dwa pozsotałe kąty:
180° - 160° = 20°
20° : 2 = 10°.
W tym trójkącie równoramiennym dwa pozostałe kąty mają po 10°.

ODPOWIEDZI znajdują się na rysunku.

Opracował
Jakub Polak