LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 4

Podaj przykład liczby ośmiocyfrowej o różnych cyfrach, w której przez skreślenie dowolnych dwóch cyfr zawsze otrzymujemy liczbę złożoną.

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, np. 6; 24; 246

Liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę naturalną większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 i dana liczba, np. 3; 37; 263

Rozwiązanie

37109285

Bez względu na to, które cyfry skreślimy, zawsze otrzymamy liczbę złożoną. Dla przykładu, jeśli skreślimy cyfry 7 i 9, to otrzymamy liczbę :

310285

Liczba ta posiada więcej niż dwa dzielniki - chociażby 1, 310285, oraz 5, a więc jest liczbą złożoną.

Jeśli skreślimy dwie ostatnie cyfry, to otrzymamy:

371092

Liczba nadal posiada kilka dzielników, np. 1, 2, 4, oraz 371092.

Jakiekolwiek dwie cyfry nie skreślimy, to jedna z trzech ostatnich cyfr 2, 8, 5 zostanie na końcu (jako cyfra jedości), więc otrzymana liczba albo będzie podzielna przez 2 albo przez 5.

Można podać wiele innych przykładów takich liczb.

Szczególną uwagę należy zwrócić na cechy podzielności liczb, które są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu tego zadania.

Kluczem do sukcesu są trzy ostatnie cyfry. Zadanie mówi o skreśleniu dwóch cyfr, więc zadbajmy, by szósta, siódma i ósma cyfra były parzyste. Wtedy mamy pewność, że liczba po skreśleniu dowolnych dwóch cyfr będzie liczbą złożoną. Jeśli skreślimy dwie ostatnie cyfry, szósta cyfra da nam pewność, że liczba posiada co najmniej trzy dzielniki (jak dobrze wiemy, liczba zakończona cyfrą parzystą również jest parzysta, a więc z pewnością dzieli się przez 2). Jeśli jednak skreślimy inne cyfry, nadal możemy być spokojni - przecież dwie ostatnie cyfry nadal są parzyste. To już całe rozwiązanie - stosując się do tych wskazówek z łatwością ułożymy wiele liczb o własnościach, o których mówi treść zadania.

Izabella Grzebieniak