LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

W trójkącie ABC miara kąta BAC jest równa 60o, zaś kąt ACB ma miarę dwa razy większą od miary kąta ABC. W trójkącie tym poprowadzono wysokości AK i BL. Wyznacz miary kątów CLK i CKL.

Rozwiązanie

I. Wiemy, że suma kątów w trójkącie wynosi 180o, więc:

60 + 2x + x = 180

60 + 3x = 180 / - 60

3x = 120 / : 3

x = 40

A więc miara kąta ABC wynosi 40o, a ACB 80o.

Jeśli dorysujemy trzecią wysokość, to resztę możemy łatwo otrzymać z rysunku:

  • W trójkącie CKA trzeci kąt (przy wierzchołku A) ma 10°.
  • W trójkącie CLB trzeci kąt przy wierzchołku B) ma 10°.
  • 60° - 10° = 50°
  • 40° - 10° = 30°
  • Na czworokącie CKHL można opisać okrąg.
  • Kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równej miary.
  • Kąty wierzchołkowe S.A. tez równej miary.
  • Stąd kat CLK ma miarę a = 90° - 50° = 40°.
  • Stąd kat CKL ma miarę b = 90° - 30° = 60°.

Odpowiedź: Kąt CLK ma 40°, a kąt CKL ma 60°.

Izabella Grzebieniak, kl.IIA