LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007


Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
2. Wielokąty foremne.
3. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.
4. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
W trójkącie podstawa ma długość 60 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm, a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm. Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.

Rozwiązanie Magdy Balickiej

Zadanie 2
W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się w punkcie M. Miara kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°. Wyznacz miarę kąta wpisanego ACD.

Rozwiązanie Magdy Barańskiej

Zadanie 3
W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość jego boku i pole tego ośmiokąta.

Zadanie 4
Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (-8,0), B = (0,-8) i O = (0,0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 będzie obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O1A1B1.

Zadanie 5
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 10 cm.

Zadanie 6
W trójkącie ABC miara kąta BAC jest równa 60°, zaś kąt ACB ma miarę dwa razy większą od miary kąta ABC. W trójkącie tym poprowadzono wysokości AK i BL. Wyznacz miary katów CLK i CKL.
Rozwiązanie Izy Grzebieniak

Zadanie 7
Środkiem symetrii rombu jest punkt (0,0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Rozwiązanie Lidki Gużyńskiej

Zadanie 8
W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |ĐABC| = 110°, |ĐDBC| = 40°, |ĐACD| = 70°. Wyznaczyć |ĐCAD| i |ĐADC|.

Rozwiązanie Karoliny Gwizdały

Zadanie 9
Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 4 cm i 16 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie Filipa Idzikowskiego

Zadanie 10
Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm.

Rozwiązanie Oliwii Klepackiej

Zadanie 11
W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |ĐCAB| = 55° i |ĐABC| = 70°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC.

Rozwiązanie Marcina Kormana

Zadanie 12
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (-1, ; -1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (-5; -1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Rozwiązanie Jędrzeja Kośnikowskiego

Zadanie 13
Wyznaczyć pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch w podanej kolejności.

Rozwiązanie Bartka Majewskiego

Zadanie 14
Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.


Rozwiązanie Rozalii Makowskiej

Zadanie 15
W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AM i BN. Ponadto punkt P jest środkiem boku AB oraz |ĐACB| = 60°. Udowodnić, że trójkąt MNP jest równoboczny.

Zadanie 16
Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu r.

Rozwiązanie Eweliny Obrębskiej

Zadanie 17
Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Miłosza Paczkowskiego

Zadanie 18
Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Zadanie 19
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Macieja Perdeni

Zadanie 20
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Rozwiązanie Jakuba Polaka

Zadanie 21
W czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D są proste oraz |AB| = |BC|. Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka B od prostej AD jest równa h.

Rozwiązanie Michaliny Rajczyk

Zadanie 22
Niech an będzie długością boku n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R.
Uzasadnij, że  .
Rozwiązanie Bartka Rembezy