Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

W trójkącie podstawa ma długość 60 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm, a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm. Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.

W okręgu o środku $O$ średnica $AB$ i cięciwa $CD$ przecinają się w punkcie $M.$ Miara kąta $CMB$ jest równa $75^{\circ}$, a miara kąta środkowego opartego na łuku $BC$ (bez punktów $A\text{ i } D$) wynosi $58^{\circ}.$ Wyznacz miarę kąta wpisanego $ACD.$

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość jego boku i pole tego ośmiokąta.

Dany jest trójkąt $OAB,$ gdzie $A = (-8,0),\; B = (0,-8) \text{ i } O = (0,0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB,$ $B_1$ obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ $\text{i } O_1$ będzie obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 10 cm.

W trójkącie $ABC$ miara kąta $BAC$ jest równa $60^{\circ},$ zaś kąt $ACB$ ma miarę dwa razy większą od miary kąta $ABC.$ W trójkącie tym poprowadzono wysokości $AK\text{ i } BL.$ Wyznacz miary katów $CLK\text{ i } CKL.$

Środkiem symetrii rombu jest punkt $(0,0).$ Jednym z jego wierzchołków jest punkt $(2,-2).$ Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego  rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

W czworokącie $ABCDE$ dane są $|\angle ABC|=110^{\circ}$,$|\angle DBC|=40^{\circ}$, $|\angle ACD|=70^{\circ}.$ Wyznaczyć $|\angle CAD| \text{ i } |\angle ADC|.$

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 4 cm i 16 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm.

W okrąg wpisano trójkąt $ABC$, w którym $|\angle CAB| = 55^{\circ}$ $\text{i }|\angle ABC| = 70^{\circ}.$ Przez punkt $C$ poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku $AB$ w punkcie $D$. Oblicz miarę kąta $ADC.$

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt $(-1,-1)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $(-5,-1)$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości $2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2}.$

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AM \text{ i }BN.$ Ponadto punkt $P$ jest środkiem boku $AB$ $\text{oraz }|\angle ACB| = 60^{\circ}.$ Udowodnić, że trójkąt $MNP$ jest równoboczny.

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu $r.$

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC,$ jeśli $|BH| - |HA| = |AC|,$ gdzie odcinek $CH$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$

W czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $B\text{i} D$ są proste oraz $|AB| = |BC|.$ Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka $B$ od prostej $AD$ jest równa $h.$

Niech $a_n$ będzie długością boku $n$-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R.$ Uzasadnij, że $a^2_{2n}=2R^2-2R\cdot \sqrt{R^2-\frac{1}{4}\cdot a^2_{n}}$ .