LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 20

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Rozwiązanie

|BH| - |HA| = |AC|
Odcinek |BH| oznaczamy jako x, odcinek |HA| oznaczamy jako y, a odcinek |AC| oznaczamy jako x-y, h zaś oznacza wysokość CH. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CBH bok BH ma długość pierwiastek z (x2 + h2).


Korzystając teraz z tw. Pitagorasa dla trójkata CHA wiemy, że:

Z tw. Pitagorasa dla trójkata ABC:

Stąd:

Jeśli więc trójkat ABC odbijemy symetrycznie względem boku BC to otrzmamy trójkat równoboczny:\

Zatem kąty trójkąta ABC muszą wynosić więc: 30o, 60o, 90o.

Odpowiedź

Kąty tego trójkąta to: 30o, 60o, 90o.

Opracował


Jakub Polak