LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 22

Niech an będzie długością boku n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R.
Uzasadnij, że .
Rozwiązanie:


Na rysunku widoczny jest pięciokąt foremny i bok dziesięciokąta foremnego (niebieski kolor).
Jednak zależności, które są poniżej są takie same w dowolnym wielokącie foremnym.
  1. Z tw. Pitagorasa dla mniejszego trójkąta prostokątnego mamy

  2. Stosuję wzór skróconego mnożenia:

  3. Z tw. Pitagorasa dla większego trójkąta prostokątnego:

    .

  4. Podstawiając ostatnią równość do wzoru 2 mamy:

  5. Po uproszczeniu:

    .

  6. Ponownie z tw. Pitagorasa dla większego trójkąta prostokątnego:

    .

  7. Podstawiając ostatnią równość do wzoru 5 mamy:

  8. Po uproszczeniu:

    .

Rembeza Bartosz