LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 7

Środkiem symetrii rombu jest punkt (0,0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Rozwiązanie:

POTRZEBNE WIADOMOŚCI O ROMBIE I KWADRACIE.

  1. Wiemy, że pole rombu możemy obliczyć ze wzoru:  Pole rombu = ½ × f1 × f2 , gdzie f1,  f2 oznaczają długości przekatnych.

  2. Przekątne rombu dzielą się na połowę w związku z czym dwie połowy danej przekątnej są równej długości.

  3. Przekątne przecinają się pod kątem prostym a punkt przecięcia jest środkiem symetrii rombu.

  4. Do wykonania zadania potrzebna będzie nam informacja że przekątna kwadratu wyraża się wzorem Rozmiar: 160 bajtów

W związku z powyższym przejdźmy teraz do rozwiązania zadania. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

  1. Rysujemy i oznaczamy odcinek SA o współrzędnych S=(0,0)i A=(2,-2).

  2. Rysujemy odcinek CS symetryczny do odcinka SA o współrzędnych C=(-2,2)i S=(0,0).

  3. Dla ułatwienia rysujemy teraz kwadrat o wierzchołkach w punktach A,C oraz A' i C', gdzie A'=(-2,-2) a C'=(2,2).

  4. Cały odcinek AC oznaczamy teraz jako f1, gdyż jest on przekątną powstałego kwadratu oraz jedną z przekątnych naszego rombu.

  5. Bok kwadratu AA'CC' jest równy 4, a przekątną kwadratu możemy obliczyć z podanego wcześniej wzoru:Rozmiar: 160 bajtów ,gdzie "c" jest u nas przekątną f1(jak również odcinkiem AC),natomiast "a" jest bokiem kwadratu. Z tego otrzymujemy, że 

  6. Wiemy, że  Pole rombu = ½ × f1 × f2 , gdzie , a f2 jest drugą przekątną naszego rombu. Przekształcamy wzór i obliczamy długość f2. Zatem

  7. Możemy teraz stwierdzić że skoro to przekątna o tej długości jest ona również przekątną kwadratu o boku 2 bo (korzystamy z tego samego wzoru)

  8. Na osi współrzędnych rysujemy kwadrat o boku długości 2, ze środkiem w punkcie S=(0,0), oznaczając wierzchołki jako B,B',D,D', gdzie B=(1,1), B'=(-1,1), D=(-1,-1), D'=(1,-1).

  9. Rysujemy przekątną BD tego kwadratu, która jest równocześnie krótszą przekątną rombu, czyli f2.

  10. Łączymy teraz wszystkie wierzchołki rombu ABCD, (które są zakończeniami przekątnych f1 i f2).

Odpowiedź:

Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne: (1,1), (-2,2), (-1,1).

Lidia Gużyńska