LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 9
Rozstrzygnij czy liczby 210 + 20058, 214 + 58 s± pierwsze.
ROZWIˇZANIE:
Przedstawmy te liczby trochę inaczej:
210 + 20058 = (25)2 + (20054)2 =
= (25)2 + (20054)2 + 2 * 25 * 2005 4 - 2 * 25 * 20054 =
= (25 + 20054)2 - 2 * 25 * 2005 4 =
= (25 + 20054)2 - (23 * 20052)2 =
= (25 + 20054 + 23 * 20052) * (25 + 20054 - 23 * 20052)
Każdy iloczyn jest liczb± złożon±, chyba że który¶ z czynników jest równy 0 lub 1. Musimy więc udowodnić, że liczba
25+20054 - 23*20052 nie jest równa ani 1, ani 0.
20054 = 20052 * 20052 > 23 * 20052
25 + 20054 - 23 * 20052 > 25 > 1 > 0
Wynika z tego, że liczba 210 + 20058 nie jest liczba pierwsz±.
Podobnie musimy uczynić z liczb± 214 + 58:
214 + 58 = (27)2 + (54)2 =
= (27)2 + (54)2 + 2 * 27 * 5 4 - 2 * 27 * 54 =
= (27 + 54)2 - 2 * 27 * 5 4 =
= (27 + 54)2 - (24 * 52)2 =
= (27 + 54 + 24 * 52) * (27 + 54 - 24 * 52)
Tak jak poprzednio, musimy udowodnić, że liczba
27 + 54 - 24 * 52 nie jest równa ani 1 ani 0.
54 = 52 * 52 > 24 * 52
27 + 54 - 24 * 52 > 27 > 1 > 0
Wynika z tego, że liczba 214 + 58 też nie jest liczb± pierwsz±.
ODPOWIED¬ :
Liczby 210 + 20058, 214 + 58 nie s± pierwsze.
FILIP IDZIKOWSKI