Zadania przygotowawcze
do etapu II-go dla uczniów klas II gimnazjum

Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa 6 cm. Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół ośrodkach w punktach $B \text{ i } D$ i o promieniu 6 cm.

Czy liczba $2^{14} + 7^{20}$ jest liczbą pierwszą?

Doprowadź wyrażenie algebraiczne
$\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$

Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich rzeczywistych liczb $a$, $b$ zachodzi następująca nierówność: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$$
Kiedy zachodzi równość?

Oblicz $\frac{\sqrt{8-2\cdot\sqrt{15}}}{(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})\cdot(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{3})}.$

Rozstrzygnij czy liczby $2^{10} + 2005^{8}$ $\text{oraz } 2^{14} + 5^{8}$ są pierwsze.

Podane wyrażenie
$$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}+\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$$ sprowadź do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość $\text{dla }x = 0,6 \text{ i } y = -0,4.$

Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną złożoną, która nie dzieli się przez żadną z liczb naturalnych od 2 do 100.

Oblicz $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2004^2}\right).$

Zbiór liczb naturalnych $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dzielimy na dwa niepuste i rozłączne podzbiory tak, by iloczyn elementów pierwszego podzbiory był podzielny przez iloczyn elementów drugiego podzbioru (na przykład, $I = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}, II = \{2, 6, 10\}$). Dla każdego podziału obliczamy iloraz tych iloczynów. Jaką najmniejszą wartość może mieć taki iloraz?

W kwadracie $ABCD$ poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach $A\text{ i }B$ i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.

W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu.

Brzeg

1. trójkąta równobocznego
2. kwadratu

o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.

Oblicz

1. $(4+\sqrt{15})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{4-\sqrt{15}}$
2. $\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot(\sqrt{3}+5)^{-1}$

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:

1. $\frac{1}{b(abc+a+c)} -\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}} :\frac{1}{a+\frac{1}{b}},$
2. $\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}-b^{-3}} :\frac{a^2b^2}{(a+b)^2-3ab} \cdot \left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1}.$

Udowodnij, że jeśli liczba naturalna $n$ jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Pewna liczba naturalna $n$ przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby $n$ przez 33?

Uzasadnij, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba $p^4 - 1$ jest podzielna przez 240.

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.