|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007 |
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas II gimnazjum
|
Tematyka:
1. Podzielność liczb całkowitych.
2. Pole i obwód koła.
3. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
4. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
|
| Zadanie 1 |
Długość boku kwadratu ABCD jest równa 6 cm. Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół ośrodkach w punktach B i D i o promieniu 6 cm.
|
Rozwiązanie Magdy Balickiej
|
| Zadanie 2 |
Czy liczba 214 + 720 jest liczbą pierwszą?
|
Rozwiązanie Magdy Barańskiej
|
| Zadanie 3 |
|
Dane wyrażenie algebraiczne doprowadź do najprostszej postaci:  ,
a następnie oblicz jego wartość dla a = 4/5 i b = 0,6.
|
Rozwiązanie Pawła Byczkowskiego
|
| Zadanie 4 |
 Która z zaznaczonych na rysunku figur, F1 czy F2, ma większe pole, jeśli trójkąt ABC jest prostokątny i równoramienny, a łuki AC i AB są półokręgami zaś łuk BC jest ćwiartką okręgu o środku A?
|
| Zadanie 5 |
Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.
|
Rozwiązanie Alberta Wolanta
|
| Zadanie 6 |
| Udowodnij nierówność dla dowolnych liczb dodatnich a, b:
Kiedy zachodzi równość?
|
Rozwiązanie Izy Grzebieniak
|
| Zadanie 7 |
Oblicz:  .
|
Rozwiązanie Lidki Gużyńskiej
|
| Zadanie 8 |
 Na kwadracie ABCD o boku 5 opisano okrąg, a następnie wykreślono okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB.
Oblicz pole kolorowej figury widocznej na rysunku. |
Rozwiązanie Karoliny Gwizdały
|
| Zadanie 9 |
Rozstrzygnij czy liczby 210 + 20058, 214 + 58 są pierwsze.
|
Rozwiązanie Filipa Idzikowskiego
|
| Zadanie 10 |
 Średnica AB dzieli koło o środku w punkcie O na dwie części. Trójkąt prostokątny ABC ma przyprostokątne długości 18 cm i 24 cm. Punkt D będzie środkiem odcinka AO. Na odcinkach AD, DO i OB zbudowano jako na średnicach półkola tak, jak to widać na rysunku. Oblicz pole i obwód kolorowego obszaru.
|
Rozwiązanie Oliwii Klepackiej
|
| Zadanie 11 |
| Dane wyrażenie algebraiczne
sprowadź do najprostszej postaci,
a następnie policz jego wartość dla x = 0,6 i y = -0,4.
|
Rozwiązanie Marcina Kormana
|
| Zadanie 12 |
Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną złożoną, która nie dzieli się przez żadną z liczb naturalnych od 2 do 100.
|
Rozwiązanie Jędrzeja Kośnikowskiego
|
| Zadanie 13 |
Oblicz:  .
|
Rozwiązanie Bartosza Majewskiego
|
| Zadanie 14 |
Zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dzielimy na dwa niepuste i rozłączne podzbiory tak, by iloczyn elementów pierwszego podzbiory był podzielny przez iloczyn elementów drugiego podzbioru (na przykład, I = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, II = {2, 6, 10}). Dla każdego podziały obliczamy iloraz tych iloczynów. Jaką najmniejszą wartość może mieć taki iloraz?
|
Rozwiązanie Rozalii Makowskiej
|
| Zadanie 15 |
W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
|
Rozwiązanie Mikołaja Niedzieli
|
| Zadanie 16 |
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.
|
Rozwiązanie Eweliny Obrębskiej
|
| Zadanie 17 |
Brzeg
- trójkąta równobocznego;
- kwadratu
o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.
|
17a Rozwiązanie Miłosza Paczkowskiego
|
17b Rozwiązanie Michała Wodzyńskiego
|
| Zadanie 18 |
Oblicz:
|
18a Rozwiązanie Bogny Pastwy
|
18b Rozwiązanie Zbyszko Wińskiego
|
| Zadanie 19 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
|
19a Rozwiązanie Maćka Perdeni
|
19b Rozwiązanie Roberta Wiśniewskiego
|
| Zadanie 20 |
Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
|
Rozwiązanie Jakuba Polaka
|
| Zadanie 21 |
Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby n przez 33?
|
Rozwiązanie Michaliny Rajczyk
|
| Zadanie 22 |
Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.
|
Rozwiązanie Bartosa Rembezy
|
| Zadanie 23 |
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
|
Rozwiązanie Zuzanny Rogaszewskiej
|
| Zadanie 24 |
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
|
Rozwiązanie Karola Romanowskiego
|
Uwaga.
W przygotowaniach do II spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa?" - strony 149, 150, 112, 52-81, 211-239. |