LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 20
Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n
jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby
1 jest podzielna przez 16.
Rozwiązanie
Liczbę nieparzystą można przedstawić w postaci 2n+1
Np. liczba 5: 2*2+1=5, w tym wypadku n=2
Podnosimy więc liczbę 2n+1 do potęgi czwartej: (2n+1)4
co daje nam wynik [(16n4 + 32n3 + 24n2 + 8n )+1]
Odejmujemy jednak cyfrę 1, bo mówimy o różnicy czwartej potęgi liczby nieparzystej i liczby 1.
Możemy teraz wynieść 8 "przed nawias", dzięki czemu otrzymamy
[8(2n4+4n3+3n2+1n)+1]-1,
po redukcji wyrażeń "+1" i "-1" otrzymujemy 8(2n4+4n3+3n2+1n)
Sprawdźmy teraz czy te liczby są podzielne przez 2, bo jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 8, to jest
też podzielna przez 16
.
liczby:2n4, 4n3 zawsze będą podzielne przez 2,
bo każda liczba pomnożona przez 4 lub 2 jest podzielna przez cyfrę 2.
Natomiast liczby 3n2 i 1n jeżeli n jest parzyste to oczywiste jest, że liczby te tez będą parzyste.
Lecz jeśli są nieparzyste to na pewno ich suma jest podzielna przez 2 (np.: 1+3 lub5+7 są podzielne przez 2),
bo zawsze 2 nieparzyste liczby po dodaniu dają liczbę parzystą.
Wiemy więc, że różnica liczby (2n+1)2 i cyfry 1 jest podzielna przez 16.
Odpowiedź
Na podstawie powyższych dowodów stwierdzam, że
że jeśli liczba naturalna n
jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby
1 jest podzielna przez 16
Opracował
Jakub Polak