LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Rozwiązanie:

Najmniejsza suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 1 , a największa 27.

Sumę cyfr równą 1 ma tylko liczba 100. Liczba ta spełnia wymaganie, ponieważ suma cyfr liczby sto równa się 1+0+0=1.

Tylko liczba 999 ma sumę cyfr równą 27. Liczba ta spełnia wymaganie, ponieważ suma cyfr liczby 999 równa się 9+9+9=27.

Spośród 18 kolejnych liczb trzycyfrowych naturalnych różnych od 999 istnieje co najmniej jedna liczba, która dzieli się przez 18. Suma cyfr tej liczby dzieli się przez 9 więc suma ta może być tylko równa albo 9 albo 18. W każdym przypadku liczba ta dzieli się przez sumę swoich cyfr bo liczba podzielna przez 18 dzieli się zarówno przez 9 jak i przez 18.

Karol Romanowski