LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 22
Uzasadnij, że je¶li p jest liczb± pierwsz± większ± od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.

Rozwi±zanie:
Rozkładamy liczbę 240 na czynniki pierwsze:
240 = 16 x 3 x 5
1. Udowodnijmy, że liczba p4 - 1 jest podzielna przez 16.
 p4 - 1 = (p2 - 1) x (p2 + 1) = (p + 1) x (p - 1) x (p2 + 1)
Liczba pierwsza p > 5 nie jest parzysta, a więc można j± przedstawić w postaci:
p = 2k + 1, gdzie k jest liczb± całkowit± dodatni±.
Wobec tego:
p4 - 1 = (p2 - 1) x (p2 + 1) = (2k + 1 + 1) x (2k + 1 - 1) x [(2k + 1)2 + 1] = (2k + 2) x (2k) x (4k2 + 4k + 2) = 2(k + 1) x 2k x 2(2k2 + 2k + 1) =
= 4(k + 1) x k x 2(2k2 + 2k + 1)
Ponieważ k jest liczb± całkowit± dodatni±, więc może być liczb± parzyst± lub liczba nieparzyst±.
Jeżeli k jest liczb± parzyst± k = 2l to 2k jest podzielna przez 4, więc:
4(k+1) x 2k x 2(2k2 + 2k + 1) dzieli się przez 16.
Jeżeli k nie jest liczb± parzyst±, to k + 1 jest liczb± parzyst±, czyli k + 1 = 2l, gdzie l jest liczb± całkowit± dodatni±
4(k+1) x k x 2(2k2 + 2k + 1) dzieli się przez 16.
2. Udowodnijmy, że p4 -1 dzieli się przez 3.
 p4 -1=(p+1)(p-1)(p2 + 1)
Liczba pierwsza p nie dzieli się przez 3, a więc ma resztę z dzielenia przez 3 równ± 1 lub 2.
Niech p = 3l, gdzie l jest liczb± całkowit±, r to reszta, r = 1,2.
Wówczas:
p4 - 1 = (p + 1)(p - 1)(p2+1)
Liczba pierwsza p nie dzieli się przez 3, a więc ma resztę z dzielenia przez 3 równ± 1 lub 2.
Niech p = 3l + r, gdzie l jest liczb± całkowit± dodatni±, r = 1, 2.
Niech r = 1, wówczas:
p4 - 1 = (p + 1)(p - 1)(p2+1) = (3l + 1 + 1)(3l + 1 - 1) [(3l + 1)2 + 1] = (3l + 2) x 3l x [(3l + 1)2 + 1]
To znaczy, że liczba p4 - 1 dzieli się przez 3.
W przypadku, gdy reszta z dzielenia liczby p przez 3 wynosi 2, mamy:
p = 3l + 2, l jest liczb± całkowit±, r = 2.
Wtedy:
p4 - 1 = (p + 1)(p - 1)(p2+1) = (3l + 2 + 1)(3l + 2 - 1) [(3l + 2)2 + 1] = (3l + 3)(3l + 1)[(3l + 2)2 + 1] = 3(l + 1) (3l + 1)[(3l + 2)2 + 1]
Z tej postaci iloczynowej wynika, że liczba p4 - 1 dzieli się również przez 3 (gdy r = 2).
3. Udowodnijmy, że p4 - 1 dzieli się przez 5.
Liczba p przy dzieleniu przez 5 może dać reszty 1, 2, 3, 4.
W przypadku reszty r = 1, p = 5l + r, l jest liczb± calkowit±.
Wówczas:
p4 - 1 = (p + 1)(p - 1)(p2+1) = (5l + 1 + 1)(5l + 1 - 1) [(5l + 1)2 + 1] = (5l + 2) x 5l x [(5l + 1)2 + 1]
Z tego wynika, iż liczba ta dzieli się przez 5, bo jednym z jej czynników jest 5.
W przypadku reszty r = 2,mamy:
p = 5l + 2
p4 - 1 = (5l + 2 + 1)(5l + 2 - 1)[(5l + 2)2] = (5l + 3)(5l + 1) (25l2 + 10l + 4 + 1) =
= (5l + 3)(5l + 1)(25l2 + 10l + 5) = (5l + 3)(5l + 1) x 5(5l2 + 2l + 1)
To znaczy, że liczba p4 - 1 dzieli się przez 5, ponieważ jednym z czynników jest 5.
W przypadku reszty r = 3, mamy:
p = 5l + 3
p4 - 1 = (5l + 3 + 1)(5l + 3 - 1)[(5l + 3)2 + 1] =(5l + 4) (5l + 2)(25l2 + 30l + 9 + 1) =
= (5l + 4) (5l + 2)(25l2 + 30l + 10) = (5l + 4)(5l + 2) x 5(5l2 + 6l + 2)
To znaczy, że liczba p4 - 1 jest podzielna przez 5.
W przypadku reszty r = 4, mamy:
p = 5l + 4,
p4 - 1 = (5l + 4 + 1)(5l + 4 - 1)[(5l + 4)2 + 1] = (5l + 5)(5l + 3)(5l + 4)2
To znaczy, że liczba p4 - 1 dzieli się przez 5.
OdpowiedĽ:
Je¶li p jest liczb± pierwsz± większ± od 5, to p4 - 1 jest podzielne przez 240.

Bartosz Rembeza