LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 5
Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.
Rozwiązanie
Wiemy, że jeśli liczba x ma 4 dzielniki to zbór jej dzielników wygląda następująco:
{1, y, z, x}, gdzie x jest tą liczbą, a y i z jej dzielnikami.
Najpierw liczymy sumę wszystkich dzielników tej liczby:
(1 + y + z + x)/4 = 10 /×4
(1 + y + z +x ) = 40
Oznacza to, że szukana liczba jest mniejsza od 40, a większa od 10, gdyż w przeciwnym wypadku średnia arytmetyczna jej cyfr byłaby na pewno za mała lub za duża.
Musi też mieć 4 dzielniki co wiemy z treści zadania.
Liczby spełniające te warunki to:
14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39.
Tylko dla jednej z tych liczb suma dzielników równa się 40.
Szukaną liczbą jest 27
bo 1+3+9+27=40
Odpowiedź
Jedyną taką liczbą jest 27.
Albert Wolant