LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 13

Czy można znaleźć 55 liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Rozwiązanie

Poszukujemy liczb takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100.

W szczególności:

Poszukujemy 55 liczb wśród 90 liczb od 10 do 99, tak aby suma dwóch dowolnych z nich nie była równa 100.

Przykładowe dwucyfrowe liczby dające w sumie 100.

54+46=100

60+40=100

21+79=100

13+87=100

Można łatwo zauważyć, że każda wybrana liczba a eliminuje wybranie pewnej drugiej b takiej, że a + b = 100. Tak więc

10 eliminuje liczbę 90

11 eliminuje liczbę 89

12 eliminuje liczbę 88

I tak dalej...

49 eliminuje liczbę 51.

Wyjątkami są tu liczby: 50, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, których wybór nie zmusza nas do wyeliminowania żadnej innej liczby.

W każdym razie trzeba wyeliminować przynajmniej tyle liczb ile jest liczb od 10 do 49 czyli 40 liczb. Pozostaje więc tylko 50 liczb tzn. mniej niż 55.

Odpowiedź

Nie, nie można znależć 55 takich liczb. Jest ich tylko 51. Są to liczby od 10 do 50 oraz od 90 do 99.

Mikołaj Niedziela