LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 16

W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2002 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup i jaki wielokąt jest jego podstawą?

Rozwiązanie

Co to jest graniastosłup?

Graniastosłup prosty - wielościan, w którym dwie ściany są równoległe i przystające (podstawy), a pozostałe są ściany (boczne) są równoległobokami i jest ich tyle ile boków w jednej podstawie.
Mówimy, że graniastosłup jest n-katny, jeśli jego podstawy są n-kątami (więc też n-bokami).

Przykładowy graniastosłup 4-kątny:

Wzory:

graniastosłup n-kątny:

liczba ścian w graniastosłupie n-kątnym - n + 2

liczba wierzchołków w graniastosłupie n-kątnym - 2n

liczba krawędzi w graniastosłupie n-kątnym - 3n

Z informacji w zadaniu wynika, że:

3n = (n + 2) + 2002

3n = n + 2004        /-n

2n = 2004        /:2

n = 1002

Skoro znamy już n możemy policzyć ilość wierzchołków danego graniastosłupa:

2n = 1002×2 = 2004

Odpowiedź

Ten graniastosłup ma 2004 wierzchołki, a jego podstawą jest 1002-kąt.

Bogna Pastwa