LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 18

Czy liczba 66...6, gdzie 6 występuje 2002 razy jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie

Liczba 666...6 dzieli się przez 2.

Wynika to z cechy podzielności przez 2:

Liczba dzieli się przez 2 gdy ostatnia cyfra tej liczby jest parzysta.

Jeśli liczba 66...6 jest kwadratem jakiejś liczby naturalnej x, to ta liczba x musi dzielić się przez 2. (bo kwadrat liczby nieparzystej byłby liczbą nieparzystą)
Zatem

x = 2n

gdzie n oznacz jakąś liczbę naturalną. Stąd jeśli

66...6 = x2

to

66...6 = (2n)2

66...6 = 4n2

Wynikałoby z tego, że liczba 666...66 dzieli się przez 4.

Jednak liczba 66...66 nie dzieli się przez 4 bo 66 nie dzieli się przez 4.

Wynika to z cechy podzielności przez 4:

Liczba dzieli się przez 4 gdy jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Odpowiedź

Podana liczba NIE jest kwadratem liczby naturalnej ponieważ nie jest podzielna zarówno przez każdą liczbę pierwszą i jej kwadrat


Opracował Jakub Polak