LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 18
Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych wynosi 12,
a najmniejsza ich wspólna wielokrotność jest równa 168. Znajdź te liczby.
Ile rozwiązań ma to zadanie?
Rozwiązanie:
jeżeli x i y są podzielne przez 12 to:
niech x = 12a
niech y = 12b
wtedy:
NWD(12a, 12b) = 12
NWW(12a, 12b) = 168
Wiadomo, że dla dowolnych dwóch liczb p, q: iloczyn ich NWD i NWW jest równy iloczynowi tych liczb:
NWD(q,w) * NWW(q,w) = q * w
stąd:
12 * 168 = 12 * a * 12 * b
czyli:
168 / 12 = ab
czyli ab = 14
a z tego wynika, że: a = 1 lub 2 ,i b = 7 lub 14
czyli:
{x = 12, y = 168} lub {x = 24, y = 84}
NWD12,168) = 12 i NWW(12,168) = 168
NWD(24,168) = 12 i NWW(24,168) = 168
Odpowiedź:
To zadanie ma dwa rozwiązania:
Te liczby to: 12 i 168, lub 24 i 168
Opracował
Jakub Polak