LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Zadanie 19

Liczba naturalna n równa jest sumie pewnych trzech różnych dzielników liczby n - 1. Wyznacz wszystkie liczby n o tej własności.

Rozwiązanie

Niech d1, d2, d3 będą dzielnikami liczby n - 1 , o których mowa jest w zadaniu, ustawionymi od najmniejszego do największego:

Niech

k = (n - 1):d1
l = (n - 1):d2
m = (n - 1):d3

Wtedy:

n = (n - 1):k + (n - 1):l + (n - 1):m

n:(n - 1) = 1:k + 1:l + 1:m

Ponieważ   n:(n - 1) > 1, więc 1:k + 1:l + 1:m > 1.

Sprawdźmy dla jakiej k, l, m zachodzi ta nierowność.

Niech k = 1, l = 2, m = 3.
Wówczas 1:1 + 1:2 + 1:3 = 11:6
11:6>1
ale 11:6 nie jest równe 7:6.

Niech k = 2, l = 3, m = 4.
Wówczas 1:2 + 1:3 + 1:4 = 13:12 i 13:12= n:(n - 1)
Ten układ liczb (2,3,4) spełnia żądane warunki więc liczba n = 13

Czy istnieją inne liczby n spełniające żądane warunki? Sprawdzamy kolejne liczby k, l, m odpowiednio równe k = 3, l = 4, m = 5
1:3 + 1:4 + 1:5 = 47:60
47:50 < 1

A więc te liczby nie spełniają tej nierówności.

Jeżeli mianowniki tych ułamków będą coraz większe to ułamki będą coraz mniejsze i nie będą spełniać żądanej i ich suma będzie mniejsza od 1.

Odpowiedź

Jedyną liczbą n o własności podanej w zadaniu jest liczba 13.

Rembeza Bartosz kl. II a