LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie liczby naturalne mniejsze od 2005 mające dokładnie 5 dzielników.

Rozwiązanie

Liczbę dzielników liczby maturalnej n otrzymujemy następująco:
  1. Przedstawiamy liczbę naturalną n w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych
    (np. jeśli n = 12 to 12 = 22*31)
  2. Mnożymy przez siebie wykładniki potęg powiększone o 1
    (w tym przypadku (2+1)(1+1))
  3. Wynik tego mnożenia jest liczbą dzielników liczby naturalnej n.
  4. Jeśli liczba naturalna n jest potęgą liczby pierwszj np. n = 27
    to liczba dzielników wynosi tyle co wykładnik powiększony o 1
    (czyli w tym przypadku 8 bo 7 + 1 = 8) PRZYKŁADY:

    n n w postaci iloczynu
    potęg liczb pierwszych    		 liczba dzielników d
    12 12 = 22*31 d = (2 + 1)(1 + 1) = 6
    7 7 = 71 d = 1 + 1 = 2
    125 125 = 53 d=3 + 1
    n n = p4 d = 4 + 1 = 5

Z tego powodu liczba spełniająca warunki tego zadania musi być liczbą będącą czwartą potegą pierwszej.

Otrzymujemy więc nastepujące rozwiązania:

Szukana liczba Zbiór jej dzielników Liczba jej dzielników
24 = 16 D16 = (1,2,4,8,16) 5
34 = 81 D81 = (1,3,9,27,81) 5
54 = 625 D625 = (1,5,25,125,625) 5

Na tym to zadanie się kończy gdyż 74 = 2401, a ta liczba jest już większa od 2005.

Odpowiedź: Wszystkie liczby naturalne mniejsze od 2005 mające dokładnie 5 dzielników to: 16, 81, 625.

Zbyszko Wiński