LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
Zadania ćwiczeniowe
dla uczniów klas II gimnazjum
Zadanie 3
Czy można podzielić zbiór liczb naturalnych {1,2,3,...,2006} na kilka grup, by w każdej z nich największa liczba była równa sumie pozostałych liczb w tej grupie?
Rozwiązanie:
Ponieważ sumą kolejnych liczb można obliczyć ze wzoru[n×(n+1)]:2,
więc suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do 2006 wynosi
[2006×(2006+1)]:2 = 2013021
Jest to liczba nieparzysta.
Gdyby ten zbiór dał się podzielić na podzbiory w ten sposób,
że największa liczba w każdym podzbiorze byłaby równa sumie pozostałych liczb w tym podzbiorze,
to suma liczb w dowolnym podzbiorze byłaby dwa razy największa liczba w tym podzbiorze,
czyli byłaby parzysta. Wówczas suma wszystkich liczb byłaby sumą liczb parzystych, czyli byłaby parzysta, a obliczyłem wyżej, że jest nieparzysta. Wynika stąd sprzeczność,
więc stąd wniosek, że nie można podzielić zbioru liczb naturalnych {1,2,3,...,2006} na takie grupy.
Michał Wodzyński