LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ
Zadanie23
Dzieląc pewną liczbę przez 3,4,5,6,7, otrzymujemy tę samą
resztę równą 2.
a) Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą od 10
b) Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.
Rozwiązanie
Na początku szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności:
34567
32537
3 537
5 7
7 | 2
2
3
5
7
|
Oznacza to, że najmniejszą taką liczbą jest 2×2×3×5×7+2=420+2=422
b-liczba spełniająca warunki punktu b.
n-liczba naturalna, gdzie n×420+2=b (mnożymy przez n×420+2, a nie n×422, ponieważ n×422 niekoniecznie musi dawać resztę 2 z dzielenia przez liczby dane w zadaniu, a n×420+2 na pewno da resztę 2)
Teraz musimy dowiedzieć się dla jakiego n wyrażenie n×420+2 jest podzielne przez 11.
b=n×420+2
b=2(n×210+1)
b=2[n(11×19+1)+1]
b=2(11×19×n+n+1)
Z tego zapisu widać, że 11×19×n jest podzielne przez 11. Trzeba teraz znaleźć najmniejsze n dla którego n+1 będzie podzielne przez 11
Najmniejsze n+1 aby być podzielne przez 11 musiałoby się równać 11, więc n=10
b=10×420+2
b=4202
Odpowiedź
Najmniejszą liczbą z dającą z dzielenia przez 3,4,5,6,7 resztę 2 jest 422, a najmniejszą liczbą o tej własności dodatkowo podzielną przez 11 jest 4202.
Albert Wolant