LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 4

Czy liczba 666...6, w której cyfra 6 powtarza się 2006 razy jest kwadratem liczby naturalniej?

Rozwiązanie

Liczba jest pełnym kwadratem (jest kwadratem jakiejś innej liczby) wtedy i tylko wtedy gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby każdy czynnik pierwszy występuje parzystą liczbę razy.

Jest tak dlatego, że liczba tych czynników jest dwa razy większa niż liczba czynników w liczbie, która została podniesiona do kwadratu, np.

Liczba podnoszona do kwadratu Pełny kwadrat
tej liczby
2 = 2 22 = 2 × 2
6 = 2 × 3 62 = 2 × 2 × 3 × 3
18 = 2 × 3 × 3 182 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

Suma cyfr liczby 666...6 wynosi:

Suma cyfr liczby 12036 wynosi: 12.

Z cech podzielności przez 3 i 9 wynika stąd, że liczba 666...6

dzieli się przez 3

ale nie dzieli się przez 9

więc ma w rozkładzie na czynniki pierwsze jedną 3-kę.

Odp.:Liczba 666...6, w której cyfra 6 powtarza się 2006 razy nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Krzysztof Chrzanowski